Kalkulator Trace Matriks

Hitung trace dari matriks persegi (jumlah elemen diagonal), verifikasi kesamaannya dengan jumlah eigenvalue, pelajari properti trace, dan visualisasikan diagonal dengan heatmap interaktif. Mendukung matriks hingga 10×10.

Coba contoh matriks:

3×3 Dasar (tr=15) 3×3 Identitas (tr=3) 2×2 Tanpa Trace 3×3 Pecahan (tr=5/2) 4×4 Umum (tr=14)

Masukkan Matriks Persegi (satu baris per baris teks)

Presisi Desimal

Tampilkan sebagai Pecahan

Catatan: Trace hanya didefinisikan untuk matriks persegi. Masukkan satu baris per baris teks, pisahkan nilai dengan koma atau spasi. Mendukung hingga 10×10.

Embed Kalkulator Trace Matriks Widget

Tentang Kalkulator Trace Matriks

Selamat datang di Kalkulator Trace Matriks, alat interaktif untuk menghitung trace dari matriks persegi apa pun — yaitu jumlah dari elemen-elemen pada diagonal utama. Trace tampak sederhana namun sangat penting: nilainya sama dengan jumlah nilai eigen, tetap invarian di bawah transformasi keserupaan, dan muncul di mana-mana mulai dari mekanika kuantum hingga pembelajaran mesin. Kalkulator ini menyediakan perhitungan langkah demi langkah, verifikasi nilai eigen, trace pangkat matriks, deteksi properti, dan heatmap visual yang menonjolkan bagian diagonal.

Apa yang Dimaksud dengan Trace Matriks?

Trace dari matriks n×n A, yang ditulis tr(A), didefinisikan sebagai jumlah dari entri diagonalnya:

Definisi Trace

$$\text{tr}(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ii} = a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn}$$

Hanya matriks persegi (jumlah baris dan kolom sama) yang memiliki trace. Ini adalah salah satu dari dua fungsi bernilai skalar yang paling mendasar dari sebuah matriks — yang lainnya adalah determinan.

Trace dan Nilai Eigen

Salah satu sifat trace yang paling luar biasa adalah hubungannya dengan nilai eigen:

Hubungan Trace-Nilai Eigen

$$\text{tr}(A) = \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n$$

Hal ini berlaku bahkan ketika nilai eigennya adalah bilangan kompleks — bagian imajinernya selalu saling meniadakan untuk matriks riil, sehingga menjamin trace yang riil. Identitas ini berasal dari fakta bahwa trace dan jumlah nilai eigen sama-sama merupakan negatif dari koefisien $x^{n-1}$ dalam polinomial karakteristik $\det(A - xI)$.

Sifat-Sifat Utama Trace

Linearitas

Trace adalah fungsional linear pada ruang matriks:

$\text{tr}(A + B) = \text{tr}(A) + \text{tr}(B)$
$\text{tr}(cA) = c \cdot \text{tr}(A)$ untuk skalar c apa pun

Sifat Siklik

Trace bersifat invarian di bawah permutasi siklik dari produk matriks:

Sifat Siklik

$$\text{tr}(ABC) = \text{tr}(BCA) = \text{tr}(CAB)$$

Catatan: ini tidak berarti tr(ABC) = tr(BAC) secara umum. Hanya permutasi siklik yang diperbolehkan.

Invariansi Keserupaan

Jika B = P^-1AP untuk suatu matriks P yang dapat dibalik, maka tr(B) = tr(A). Ini membuat trace menjadi invarian keserupaan, yang berarti nilainya tidak bergantung pada pilihan basis.

Invariansi Transpos

tr(A) = tr(A^T), karena melakukan transpos pada matriks tidak mengubah entri diagonalnya.

Hubungan dengan Norma Frobenius

Norma Frobenius melalui Trace

$$\|A\|_F^2 = \text{tr}(A^T A) = \sum_{i,j} a_{ij}^2$$

Aplikasi Trace

⚗

Mekanika Kuantum

Nilai ekspektasi dari sebuah observabel adalah $\langle A \rangle = \text{tr}(\rho A)$ di mana ρ adalah matriks densitas. Trace sangat penting untuk menghitung nilai ekspektasi, entropi keterikatan, dan fidelitas.

🌐

Relativitas Umum

Skalar Ricci R = g^μνR_μν adalah trace dari tensor Ricci terhadap metriknya. Ini mengukur seberapa melengkung ruang-waktu tersebut.

📊

Pembelajaran Mesin

Regularisasi trace tr(W^TW) memberikan penalti pada bobot yang besar, dan norma nuklir (norma trace) digunakan untuk pelengkapan matriks dan optimasi pangkat rendah (low-rank).

🎯

Statistika

Dalam statistika multivariat, total varians dari vektor acak sama dengan trace dari matriks kovariansnya: total varians = tr(Σ).

Jenis Matriks Khusus dan Trace-nya

Jenis Matriks	Sifat Trace	Contoh
Identitas I_n	tr(I) = n	tr(I₃) = 3
Matriks Nol	tr(0) = 0	Semua entri nol
Matriks Diagonal	tr = jumlah diagonal	tr(diag(2,5,3)) = 10
Tanpa Trace (sl(n))	tr(A) = 0	Matriks Pauli, generator SU(n)
Simetris	tr = jumlah nilai eigen riil	Semua nilai eigen riil
Ortogonal	\|tr(A)\| ≤ n	Matriks rotasi
Idempoten	tr(A) = rank(A)	Matriks proyeksi
Nilpoten	tr(A^k) = 0 untuk semua k	Semua nilai eigen nol

Trace Pangkat Matriks dan Identitas Newton

Trace dari pangkat-pangkat sebuah matriks, tr(A), tr(A²), tr(A³), ..., mengandung informasi lengkap tentang spektrum nilai eigen. Melalui Identitas Newton, trace pangkat ini dapat merekonstruksi seluruh polinomial karakteristik:

Hubungan Trace Pangkat

$$\text{tr}(A^k) = \lambda_1^k + \lambda_2^k + \cdots + \lambda_n^k$$

Ini berarti urutan trace {tr(A), tr(A²), ..., tr(Aⁿ)} sepenuhnya menentukan nilai eigen dari A.

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Apa yang dimaksud dengan trace matriks?

Trace dari matriks persegi A, yang dilambangkan dengan tr(A), adalah jumlah dari elemen-elemen pada diagonal utama: tr(A) = a₁₁ + a₂₂ + ... + a_nn. Ini hanya didefinisikan untuk matriks persegi (n×n). Trace adalah salah satu invarian matriks paling mendasar dalam aljabar linear.

Bagaimana hubungan trace dengan nilai eigen?

Trace dari sebuah matriks sama dengan jumlah nilai eigennya (dihitung dengan multiplisitas aljabar): tr(A) = λ₁ + λ₂ + ... + λ_n. Hal ini karena trace dan jumlah nilai eigen keduanya merupakan negatif dari koefisien x^n-1 dalam polinomial karakteristik.

Apa saja sifat-sifat utama dari trace?

Sifat utama: (1) Linearitas: tr(aA + bB) = a·tr(A) + b·tr(B). (2) Invariansi transpos: tr(A) = tr(A^T). (3) Sifat siklik: tr(ABC) = tr(BCA) = tr(CAB). (4) Invariansi keserupaan: tr(P^-1AP) = tr(A). (5) tr(A^TA) = jumlah kuadrat dari semua entri = ‖A‖²_F (kuadrat norma Frobenius).

Mengapa trace penting dalam aljabar linear?

Trace adalah invarian keserupaan — ia tidak berubah di bawah perubahan basis. Bersama dengan determinan, trace mencirikan perilaku transformasi linear. Dalam fisika, trace muncul dalam mekanika kuantum (nilai ekspektasi), relativitas umum (skalar Ricci), dan mekanika statistik (fungsi partisi). Dalam pembelajaran mesin, ini digunakan dalam regularisasi dan metode kernel.

Apa itu matriks tanpa trace (traceless)?

Matriks tanpa trace memiliki tr(A) = 0, artinya elemen diagonalnya berjumlah nol. Matriks tanpa trace membentuk aljabar Lie sl(n), yang memainkan peran sentral dalam fisika teoritis dan geometri diferensial. Setiap matriks dapat didekomposisi menjadi A = (tr(A)/n)I + B, di mana B tidak memiliki trace.

Bagaimana cara menghitung trace sebuah matriks?

Untuk menghitung trace: (1) Identifikasi elemen diagonal utama a₁₁, a₂₂, ..., a_nn — ini adalah entri di mana indeks baris sama dengan indeks kolom. (2) Jumlahkan semuanya: tr(A) = a₁₁ + a₂₂ + ... + a_nn. Misalnya, untuk [[1,2],[3,4]], trace-nya adalah 1 + 4 = 5.

Sumber Daya Tambahan

Kutip konten, halaman, atau alat ini sebagai:

"Kalkulator Trace Matriks" di https://MiniWebtool.com/id// dari MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

oleh tim miniwebtool. Diperbarui: 21 Feb 2026

Anda juga dapat mencoba Penyelesai Matematika AI GPT kami untuk menyelesaikan masalah matematika Anda melalui pertanyaan dan jawaban dalam bahasa alami.

Kalkulator Trace Matriks

Ad blocker Anda mencegah kami menampilkan iklan

Tentang Kalkulator Trace Matriks

Apa yang Dimaksud dengan Trace Matriks?

Trace dan Nilai Eigen

Sifat-Sifat Utama Trace

Linearitas

Sifat Siklik

Invariansi Keserupaan

Invariansi Transpos

Hubungan dengan Norma Frobenius

Aplikasi Trace

Jenis Matriks Khusus dan Trace-nya

Trace Pangkat Matriks dan Identitas Newton

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Apa yang dimaksud dengan trace matriks?

Bagaimana hubungan trace dengan nilai eigen?

Apa saja sifat-sifat utama dari trace?

Mengapa trace penting dalam aljabar linear?

Apa itu matriks tanpa trace (traceless)?

Bagaimana cara menghitung trace sebuah matriks?

Sumber Daya Tambahan

Alat unggulan: