Kalkulator Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Tentang Kalkulator Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Selamat datang di Kalkulator Nilai Eigen dan Vektor Eigen, alat komprehensif untuk menghitung nilai eigen dan vektor eigen dari matriks 2×2 dan 3×3. Kalkulator ini memberikan solusi langkah demi langkah yang detail, menurunkan polinomial karakteristik, menganalisis properti matriks, dan memvisualisasikan geometri transformasi. Ideal untuk siswa, guru, insinyur, dan peneliti yang bekerja dengan aljabar linear.

Apa Itu Nilai Eigen dan Vektor Eigen?

Dalam aljabar linear, nilai eigen dan vektor eigen adalah properti fundamental dari matriks persegi yang mengungkapkan bagaimana matriks mentransformasikan vektor. Vektor eigen adalah vektor tidak nol yang, ketika matriks bekerja padanya, hanya berubah skalanya (bukan arahnya). Faktor penskalaan tersebut adalah nilai eigen yang sesuai.

Di mana:

• A adalah matriks persegi (n×n)
• v adalah vektor eigen (vektor tidak nol)
• λ (lambda) adalah nilai eigen (skalar)

Secara geometris, vektor eigen menunjuk ke arah yang tetap tidak berubah (hanya diskalakan) di bawah transformasi linear yang diwakili oleh matriks. Hal ini membuat mereka sangat berguna untuk memahami perilaku sistem yang kompleks.

Cara Menghitung Nilai Eigen

Menemukan nilai eigen melibatkan penyelesaian persamaan karakteristik:

Proses langkah demi langkahnya:

1. Bentuk matriks (A - λI): Kurangi λ kali matriks identitas dari A
2. Hitung determinan: Cari det(A - λI), yang memberikan polinomial karakteristik
3. Selesaikan polinomial: Setel determinan sama dengan nol dan selesaikan untuk λ
4. Solusinya adalah nilai eigen: Setiap akar dari polinomial karakteristik adalah nilai eigen

Contoh: Matriks 2×2

Untuk matriks 2×2, polinomial karakteristik selalu kuadrat:

Cara Menghitung Vektor Eigen

Untuk setiap nilai eigen λ, temukan vektor eigen yang sesuai dengan menyelesaikan:

Ini adalah sistem persamaan linear homogen. Vektor eigen v adalah vektor tidak nol apa pun di ruang nol (null space) dari (A - λI). Perhatikan bahwa vektor eigen tidak unik; setiap kelipatan skalar dari vektor eigen juga merupakan vektor eigen untuk nilai eigen yang sama.

Cara Menggunakan Kalkulator Ini

1. Pilih ukuran matriks: Pilih matriks 2×2 atau 3×3
2. Masukkan elemen matriks: Input nilai (bilangan bulat, desimal, atau pecahan seperti 1/2)
3. Klik Hitung: Kalkulator akan menghitung nilai eigen dan vektor eigen
4. Tinjau hasil: Periksa nilai eigen, vektor eigen, properti matriks, dan visualisasi
5. Pelajari langkah-langkahnya: Ikuti solusi langkah demi langkah yang detail untuk memahami prosesnya

Aplikasi Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Properti Utama Nilai Eigen

• Jumlah nilai eigen sama dengan trace: λ₁ + λ₂ + ... + λₙ = trace(A)
• Hasil kali nilai eigen sama dengan determinan: λ₁ × λ₂ × ... × λₙ = det(A)
• Matriks simetris memiliki nilai eigen riil: Semua nilai eigen dari matriks simetris adalah bilangan riil
• Nilai eigen kompleks muncul dalam pasangan konjugasi: Untuk matriks riil, nilai eigen kompleks muncul sebagai a ± bi
• Nilai eigen nol menunjukkan singularitas: Sebuah matriks adalah singular (tidak dapat dibalik) jika dan hanya jika ia memiliki nol sebagai nilai eigen

Definitas Matriks

Untuk matriks simetris, nilai eigen menentukan definitas:

• Definit positif: Semua nilai eigen > 0
• Semi-definit positif: Semua nilai eigen ≥ 0
• Definit negatif: Semua nilai eigen < 0
• Semi-definit negatif: Semua nilai eigen ≤ 0
• Indefinit: Campuran nilai eigen positif dan negatif

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Apa itu nilai eigen dan vektor eigen?

Nilai eigen dan vektor eigen adalah konsep fundamental dalam aljabar linear. Untuk matriks persegi A, vektor eigen v adalah vektor tidak nol yang, ketika dikalikan dengan A, menghasilkan kelipatan skalar dari dirinya sendiri: Av = λv. Skalar λ disebut nilai eigen. Secara geometris, vektor eigen menunjuk ke arah yang tetap tidak berubah (hanya diskalakan) di bawah transformasi linear yang diwakili oleh matriks.

Bagaimana cara mencari nilai eigen?

Untuk mencari nilai eigen: 1) Bentuk matriks (A - λI) di mana I adalah matriks identitas. 2) Setel determinan det(A - λI) = 0, yang memberikan polinomial karakteristik. 3) Selesaikan persamaan polinomial ini untuk λ. Solusinya adalah nilai eigen dari matriks A.

Bagaimana cara mencari vektor eigen?

Untuk setiap nilai eigen λ, cari vektor eigen dengan menyelesaikan sistem homogen (A - λI)v = 0. Ini berarti mencari vektor di ruang nol (null space) dari (A - λI). Solusi memberikan arah vektor eigen; setiap kelipatan skalar tidak nol juga merupakan vektor eigen untuk nilai eigen yang sama.

Apa itu polinomial karakteristik?

Polinomial karakteristik dari matriks A adalah det(A - λI), di mana λ adalah variabel dan I adalah matriks identitas. Untuk matriks 2×2, ini memberikan polinomial kuadrat; untuk matriks 3×3, polinomial kubik. Akar-akar dari polinomial ini adalah nilai eigen dari A.

Apa kegunaan nilai eigen?

Nilai eigen dan vektor eigen memiliki banyak aplikasi: menyelesaikan sistem persamaan diferensial, Analisis Komponen Utama (PCA) dalam sains data, algoritma PageRank Google, mekanika kuantum (observabel dan keadaan), analisis getaran dalam teknik, analisis stabilitas sistem dinamis, dan kompresi gambar.

Bisakah nilai eigen berupa bilangan kompleks?

Ya, nilai eigen bisa berupa bilangan kompleks, terutama untuk matriks non-simetris. Namun, matriks simetris selalu memiliki nilai eigen riil. Nilai eigen kompleks selalu muncul dalam pasangan konjugasi untuk matriks dengan entri riil. Nilai eigen kompleks sering menunjukkan komponen rotasi dalam transformasi.

Sumber Daya Tambahan

• Nilai dan Vektor Eigen - Wikipedia
• Nilai Eigen dan Vektor Eigen - Khan Academy
• Polinomial Karakteristik - Wikipedia

Alat terkait lainnya:

Aljabar Linear:

• Kalkulator Determinan
• Kalkulator Nilai Eigen dan Vektor Eigen
• Kalkulator Matriks
• Kalkulator Penguraian Pecahan Parsial
• Kalkulator Vektor
• Kalkulator Gram-Schmidt Baru
• Kalkulator Proyeksi Vektor Baru
• Kalkulator Dekomposisi LU Matriks Baru
• Kalkulator Dekomposisi Nilai Singular (SVD) Baru