Kalkulator Integral Tiga Kali

Tentang Kalkulator Integral Tiga Kali

Selamat datang di Kalkulator Integral Lipat Tiga, alat komprehensif untuk menghitung integral lipat tiga dengan solusi langkah-demi-langkah terperinci dan visualisasi 3D. Baik Anda sedang mempelajari kalkulus multivariabel, menyelesaikan masalah fisika, atau mengerjakan aplikasi teknik, kalkulator ini menyediakan komputasi simbolik yang akurat untuk integral lipat tiga tentu dan tak tentu.

Apa itu Integral Lipat Tiga?

Integral lipat tiga memperluas konsep integrasi ke tiga dimensi. Alat ini menghitung integral dari suatu fungsi $f(x, y, z)$ pada wilayah tiga dimensi, yang ditulis sebagai:

Integral lipat tiga bersifat fundamental dalam kalkulus multivariabel dan memiliki banyak aplikasi dalam fisika, teknik, dan matematika terapan.

Cara Kerja Integrasi Lipat Tiga

Integrasi Iterasi

Integral lipat tiga di atas kotak persegi panjang dievaluasi dengan melakukan tiga integrasi tunggal berturut-turut:

1. Integral dalam: Integralkan terhadap variabel terdalam (mis., $z$) sambil menganggap $x$ dan $y$ sebagai konstanta
2. Integral tengah: Integralkan hasilnya terhadap variabel tengah (mis., $y$) sambil menganggap $x$ sebagai konstanta
3. Integral luar: Integralkan terhadap variabel terluar (mis., $x$)

Teorema Fubini

Untuk fungsi kontinu di atas wilayah persegi panjang dengan batas konstan, urutan integrasi dapat diubah tanpa mempengaruhi hasil. Ini dikenal sebagai teorema Fubini. Namun, untuk wilayah non-persegi panjang, perhatian cermat harus diberikan pada urutan integrasi dan batasnya.

Cara Menggunakan Kalkulator Ini

1. Masukkan fungsi: Input fungsi $f(x, y, z)$ untuk diintegralkan. Gunakan notasi standar seperti x*y*z, sin(x)*cos(y), atau exp(-x^2-y^2-z^2).
2. Tentukan variabel: Tentukan tiga variabel integrasi. Integral luar menggunakan variabel pertama, tengah menggunakan yang kedua, dan dalam menggunakan yang ketiga.
3. Atur batas (opsional): Masukkan batas bawah dan atas untuk setiap variabel. Biarkan kosong untuk integral tak tentu. Mendukung ekspresi seperti pi, pi/2, atau nilai numerik.
4. Hitung: Klik "Hitung Integral Lipat Tiga" untuk melihat solusi langkah-demi-langkah dan visualisasi.

Fungsi dan Notasi yang Didukung

• Aritmatika: +, -, *, /, ^ (pangkat)
• Trigonometri: sin, cos, tan, sinh, cosh
• Eksponensial/Logaritmik: exp, ln
• Konstanta: pi, e
• Perkalian implisit: 2x diinterpretasikan sebagai 2*x

Aplikasi Integral Lipat Tiga

Sistem Koordinat

Koordinat Kartesius

Sistem default menggunakan koordinat $(x, y, z)$. Paling baik untuk wilayah persegi panjang dan fungsi tanpa simetri yang jelas.

Koordinat Silinder

Menggunakan $(r, \theta, z)$ di mana $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$. Elemen volume menjadi $dV = r \, dr \, d\theta \, dz$. Ideal untuk masalah dengan simetri lingkaran atau silinder.

Koordinat Bola

Menggunakan $(\rho, \phi, \theta)$ di mana $x = \rho\sin\phi\cos\theta$, $y = \rho\sin\phi\sin\theta$, $z = \rho\cos\phi$. Elemen volumenya adalah $dV = \rho^2 \sin\phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta$. Paling baik untuk wilayah bola.

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Apa itu integral lipat tiga?

Integral lipat tiga memperluas integrasi ke tiga dimensi, menghitung integral dari fungsi $f(x,y,z)$ pada wilayah tiga dimensi. Ini ditulis sebagai $\iiint f(x,y,z) \, dV$ dan digunakan untuk menghitung volume, massa, pusat massa, dan sifat-sifat lain dari objek 3D.

Bagaimana cara mengevaluasi integral lipat tiga?

Integral lipat tiga dievaluasi dengan melakukan tiga integrasi tunggal berturut-turut, dimulai dari integral terdalam dan bekerja ke arah luar. Untuk wilayah persegi panjang, integralkan terhadap satu variabel sambil menganggap yang lain sebagai konstanta, lalu ulangi untuk variabel yang tersisa.

Apa urutan integrasi dalam integral lipat tiga?

Urutan integrasi mengacu pada variabel mana yang Anda integralkan terlebih dahulu. Urutan umum meliputi $dz \, dy \, dx, dy \, dz \, dx$, dll. Untuk wilayah persegi panjang dengan batas konstan, urutan tidak mempengaruhi hasil akhir (teorema Fubini), tetapi untuk wilayah non-persegi panjang, mengubah urutan dapat menyederhanakan perhitungan.

Kapan saya harus menggunakan integral lipat tiga?

Integral lipat tiga digunakan saat menghitung properti objek tiga dimensi: volume padatan, massa objek dengan kerapatan variabel, pusat massa, momen inersia, distribusi muatan listrik, dan nilai rata-rata fungsi pada wilayah 3D.

Apa perbedaan antara integral lipat tiga tentu dan tak tentu?

Integral lipat tiga tentu memiliki batas tertentu untuk ketiga variabel dan menghasilkan nilai numerik. Integral lipat tiga tak tentu tidak memiliki batas dan menghasilkan fungsi (antiturunan) ditambah konstanta integrasi. Integral tentu lebih umum dalam aplikasi.

Bisakah integral lipat tiga diubah ke sistem koordinat lain?

Ya, integral lipat tiga dapat diubah ke koordinat silinder $(r, \theta, z)$ atau koordinat bola $(\rho, \phi, \theta)$ ketika wilayah atau integran memiliki simetri yang sesuai. Ini sering menyederhanakan perhitungan secara signifikan. Determinan Jacobian harus disertakan saat mengubah koordinat.

Sumber Daya Tambahan

• Integral Lipat - Wikipedia
• Kalkulus Multivariabel - Khan Academy

Alat terkait lainnya:

Kalkulus:

• Kalkulator Konvolusi
• Kalkulator Turunan
• Kalkulator Turunan Arah Unggulan
• Kalkulator Integral Ganda
• Kalkulator Turunan Implisit
• Kalkulator Integral
• Kalkulator Transformasi Laplace Invers
• Kalkulator Transformasi Laplace
• Kalkulator Limit
• Kalkulator Turunan Parsial
• Kalkulator Turunan Satu Variabel
• Kalkulator Deret Taylor
• Kalkulator Integral Tiga Kali