Calculatrice de la somme des carrés

Calculez la somme de nombres carrés consécutifs (1² + 2² + ... + n²) avec des formules étape par étape, des graphiques interactifs et des représentations géométriques visuelles.

1..n N premiers carrés n₁..n₂ Plage [...] Liste personnalisée

Exemples rapides

Entrez n (calcule 1² + 2² + ... + n²)

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Calculatrice de la somme des carrés

Bienvenue sur la Calculatrice de la somme des carrés, un outil mathématique complet qui calcule la somme des nombres carrés consécutifs avec des décompositions de formules étape par étape, des visualisations interactives et des représentations géométriques. Que vous étudiiez l'algèbre, analysiez la variance statistique, résolviez des problèmes de physique ou exploriez la théorie des nombres, cette calculatrice fournit des calculs de qualité professionnelle pour vos besoins.

Qu'est-ce que la somme des carrés ?

La somme des carrés consiste à additionner les carrés d'une série de nombres. La forme la plus courante est la somme des carrés des n premiers nombres entiers naturels : 1² + 2² + 3² + ... + n². Ce concept mathématique fondamental apparaît partout en mathématiques, statistiques, physique et ingénierie.

Les nombres carrés (1, 4, 9, 16, 25, ...) représentent des carrés parfaits, qui peuvent être visualisés comme les aires de carrés dont les côtés sont des nombres entiers. La somme des carrés combine ces aires en un total unique.

Formule de la somme des n premiers carrés

Formule explicite

$$\sum_{k=1}^{n} k^2 = 1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

Cette élégante formule, découverte par des mathématiciens il y a des siècles, permet de calculer instantanément la somme sans additionner chaque carré individuellement. Par exemple, la somme des carrés de 1 à 100 est égale à 100 × 101 × 201 / 6 = 338 350.

Formule de la somme des carrés consécutifs (plage)

Pour trouver la somme des carrés de n₁² à n₂², soustrayez la somme jusqu'à (n₁-1) de la somme jusqu'à n₂ :

Formule de plage

$$\sum_{k=n_1}^{n_2} k^2 = \frac{n_2(n_2+1)(2n_2+1)}{6} - \frac{(n_1-1)n_1(2n_1-1)}{6}$$

Comment utiliser cette calculatrice

Choisissez un mode de calcul :
- N premiers carrés : Calculez 1² + 2² + ... + n² (saisissez n)
- Plage : Calculez n₁² + ... + n₂² (saisissez les deux bornes)
- Liste personnalisée : Entrez des nombres spécifiques à élever au carré et à additionner
Saisissez vos valeurs : Entrez les nombres requis selon le mode choisi.
Calculer : Cliquez sur le bouton de calcul pour voir vos résultats.
Consultez le détail : Examinez le calcul étape par étape, la visualisation et les termes individuels.

Applications de la somme des carrés

Statistiques et analyse de données

La somme des carrés est fondamentale pour calculer la variance et l'écart-type. Dans l'ANOVA (analyse de variance), elle mesure la variation entre les groupes et au sein des groupes.

Physique et ingénierie

Utilisée dans les calculs d'énergie, les calculs de moment d'inertie et le traitement du signal. Le théorème de Pythagore est une relation de somme de carrés.

Théorie des nombres

Explore quels nombres peuvent être exprimés comme des sommes de carrés. Le théorème des quatre carrés de Lagrange stipule que tout entier positif est une somme de quatre carrés.

Apprentissage automatique

La régression des moindres carrés minimise la somme des carrés des résidus. L'erreur quadratique moyenne (MSE) est une fonction de perte courante basée sur la somme des carrés.

Somme des carrés vs Carré de la somme

Ce sont des opérations différentes qui donnent des résultats différents :

Concept	Formule	Exemple (n=3)
Somme des carrés	1² + 2² + ... + n²	1 + 4 + 9 = 14
Carré de la somme	(1 + 2 + ... + n)²	(1+2+3)² = 36

La différence s'explique par l'identité remarquable : (a+b)² = a² + 2ab + b². Le carré d'une somme inclut des termes de produits croisés que la somme des carrés ne possède pas.

Formules associées

Somme des n premiers nombres entiers naturels

Somme arithmétique

$$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$$

Somme des n premiers cubes

Somme des cubes

$$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$$

Il est intéressant de noter que la somme des cubes est égale au carré de la somme des nombres entiers naturels !

Foire aux questions

Quelle est la formule de la somme des carrés ?

La somme des n premiers carrés (1² + 2² + ... + n²) est égale à n(n+1)(2n+1)/6. Cette formule explicite fournit un moyen efficace de calculer la somme sans additionner chaque carré individuellement.

Comment calculer la somme des carrés consécutifs de n1 à n2 ?

Pour trouver la somme des carrés consécutifs de n1² à n2², utilisez la formule : Somme = n2(n2+1)(2n2+1)/6 - (n1-1)(n1)(2n1-1)/6. Cela soustrait la somme des carrés jusqu'à (n1-1) de la somme jusqu'à n2.

À quoi sert la somme des carrés ?

La somme des carrés est fondamentale en statistique (calcul de la variance et de l'écart-type), en physique (calculs d'énergie, extensions du théorème de Pythagore), en traitement du signal, en problèmes d'optimisation et en théorie des nombres.

Quelle est la somme des carrés de 1 à 100 ?

La somme des carrés de 1 à 100 est 338 350. En utilisant la formule n(n+1)(2n+1)/6 avec n=100 : 100 × 101 × 201 / 6 = 338 350.

Quelle est la différence entre la somme des carrés et le carré de la somme ?

La somme des carrés (1² + 2² + ... + n²) additionne les valeurs individuelles au carré, tandis que le carré de la somme (1 + 2 + ... + n)² élève au carré le total de la somme. Ils donnent des résultats différents à cause des termes de produits croisés dans le développement.

Quel est le lien entre la somme des carrés et la variance ?

En statistique, la variance est calculée à l'aide de la somme des écarts au carré par rapport à la moyenne, divisée par n (population) ou n-1 (échantillon). C'est pourquoi on l'appelle "somme des carrés" dans l'ANOVA et l'analyse de régression.

Ressources complémentaires

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par l'équipe miniwebtool. Mis à jour : 25 janv. 2026

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