Calculatrice de Dérivées

Calculatrice de Dérivées

Bienvenue sur notre Calculatrice de dérivées, un outil de calcul complet qui calcule les dérivées avec des solutions détaillées étape par étape et des visualisations interactives. Que vous ayez besoin de dérivées à variable unique, de dérivées partielles pour des fonctions multivariables, de dérivation implicite ou de dérivées directionnelles avec analyse de gradient, cette calculatrice fournit des résultats précis avec des explications pédagogiques.

Qu'est-ce qu'une dérivée ?

Une dérivée mesure le taux de variation instantané d'une fonction par rapport à sa variable. Géométriquement, la dérivée en un point représente la pente de la ligne tangente au graphique de la fonction en ce point. Les dérivées sont fondamentales en calcul infinitésimal et ont des applications étendues en physique, en ingénierie, en économie et dans de nombreux autres domaines.

La dérivée d'une fonction f(x) par rapport à x est notée :

Types de dérivées pris en charge

1. Dérivée à variable unique

Calcule la dérivée d'une fonction f(x) par rapport à une seule variable. Prend en charge les dérivées d'ordre supérieur jusqu'au 10ème ordre. La calculatrice identifie les règles de dérivation appliquées (règle de puissance, règle de produit, règle de chaîne, etc.) et affiche chaque étape.

2. Dérivée partielle

Pour les fonctions de plusieurs variables f(x, y, z, ...), les dérivées partielles mesurent le taux de variation par rapport à une seule variable tout en traitant les autres comme des constantes. Essentiel pour le calcul multivariable, l'optimisation et la physique. Prend en charge les dérivées partielles mixtes comme la dérivée seconde par rapport à x puis y.

3. Dérivée implicite

Trouve les dérivées lorsqu'une fonction est définie implicitement par une équation F(x, y) = 0. Utilise la dérivation implicite pour trouver dy/dx sans résoudre explicitement pour y. Utile pour les courbes comme les cercles, les ellipses et d'autres relations implicites.

4. Dérivée directionnelle

Mesure le taux de variation d'une fonction dans n'importe quelle direction spécifiée. Calcule le vecteur gradient et effectue son produit scalaire avec le vecteur de direction unitaire. Affiche toutes les étapes, y compris le calcul du gradient, la normalisation du vecteur et la valeur finale de la dérivée directionnelle.

Règles de dérivation courantes

Comment utiliser cette calculatrice

1. Sélectionner le type de dérivée : Choisissez le type de dérivée dont vous avez besoin : variable unique, partielle, implicite ou dérivée directionnelle dans les onglets de la calculatrice.
2. Saisir votre fonction : Tapez votre fonction en utilisant la notation mathématique standard. Utilisez ** pour les exposants (ex : x**2), * pour la multiplication et les fonctions standards comme sin(x), cos(x), e**x, ln(x).
3. Spécifier les paramètres : Entrez la variable par rapport à laquelle dériver, l'ordre de la dérivée (1er, 2ème, etc.) et tout paramètre supplémentaire requis pour votre type de dérivée.
4. Calculer et examiner : Cliquez sur le bouton Calculer pour calculer la dérivée. Examinez le résultat ainsi que la solution étape par étape montrant quelles règles de dérivation ont été appliquées.
5. Analyser la visualisation : Pour les dérivées à variable unique, examinez le graphique interactif montrant à la fois la fonction d'origine et sa dérivée pour comprendre la relation entre elles.

Syntaxe de saisie de fonction

Utilisez la syntaxe suivante lors de la saisie des fonctions :

• Exposants : Utilisez ** (ex : x**2 pour x au carré, x**3 pour x au cube)
• Multiplication : Utilisez * (ex : 2*x, x*y) - la multiplication implicite comme 2x fonctionne également
• Trigonométrie : sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), sec(x), csc(x)
• Trigo inverse : asin(x), acos(x), atan(x)
• Exponentielle : e**x ou exp(x)
• Logarithmes : ln(x) pour le logarithme népérien, log(x, base) pour les autres bases
• Racine carrée : sqrt(x) ou x**(1/2)
• Valeur absolue : Abs(x)

Comprendre les résultats

Solutions étape par étape

Chaque calcul comprend des étapes détaillées montrant :

• L'identification de la fonction d'origine
• Quelle règle de dérivation est appliquée à chaque étape
• Les calculs intermédiaires pour les dérivées d'ordre supérieur
• Le résultat final simplifié

Visualisation interactive

Pour les dérivées à variable unique, la calculatrice génère un graphique interactif Chart.js montrant à la fois la fonction d'origine f(x) et sa dérivée f'(x). Cette visualisation vous aide à comprendre :

• Où la fonction est croissante (dérivée positive) ou décroissante (dérivée négative)
• Les maxima et minima locaux (où la dérivée est égale à zéro)
• La relation entre la courbure de la fonction et la pente de la dérivée

Questions Fréquemment Posées

Qu'est-ce qu'une dérivée en calcul infinitésimal ?

Une dérivée mesure le taux de variation instantané d'une fonction par rapport à sa variable. Géométriquement, elle représente la pente de la ligne tangente au graphique de la fonction en n'importe quel point. La dérivée de f(x) est notée f'(x) ou df/dx et est calculée à l'aide de limites ou de règles de dérivation comme la règle de puissance, la règle de produit et la règle de chaîne.

Qu'est-ce qu'une dérivée partielle ?

Une dérivée partielle est la dérivée d'une fonction multivariable par rapport à une seule variable tout en traitant toutes les autres variables comme des constantes. Pour une fonction f(x,y), la dérivée partielle par rapport à x est écrite df/dx ou f_x, et mesure comment f change lorsque seule x varie. Les dérivées partielles sont essentielles dans le calcul multivariable, l'optimisation et la physique.

Qu'est-ce que la dérivation implicite ?

La dérivation implicite est une technique utilisée pour trouver des dérivées lorsqu'une fonction est définie implicitement plutôt qu'explicitement. Pour une équation comme x^2 + y^2 = 1, nous dérivons les deux côtés par rapport à x, en traitant y comme une fonction de x et en appliquant la règle de chaîne. Cela permet de trouver dy/dx sans d'abord résoudre pour y.

Qu'est-ce qu'une dérivée directionnelle ?

Une dérivée directionnelle mesure le taux de variation d'une fonction dans n'importe quelle direction spécifiée. Elle est calculée comme le produit scalaire du vecteur gradient et d'un vecteur unitaire dans la direction souhaitée : D_u f = nabla f dot u. La dérivée directionnelle généralise les dérivées partielles, qui mesurent le changement uniquement le long des axes de coordonnées.

Comment saisir des fonctions dans la calculatrice ?

Utilisez la notation mathématique standard avec ** pour les exposants (ex : x**2 pour x au carré), * pour la multiplication, et les noms de fonctions standards comme sin(x), cos(x), tan(x), ln(x), log(x), e**x, et sqrt(x). La multiplication implicite est prise en charge, donc 2x est interprété comme 2*x.

Applications des dérivées

Physique et Ingénierie

• Vitesse et Accélération : La vitesse est la dérivée de la position ; l'accélération est la dérivée de la vitesse
• Taux de variation : Analyser comment les quantités physiques changent au fil du temps
• Optimisation : Trouver les valeurs maximales/minimales dans les problèmes de conception

Économie et Affaires

• Analyse marginale : Le coût marginal, le revenu et le profit sont les dérivées des fonctions de coût total, de revenu et de profit
• Élasticité : L'élasticité-prix de la demande utilise des dérivées
• Optimisation : Maximiser le profit ou minimiser les coûts

Mathématiques et Sciences

• Étude de courbe : Utiliser les dérivées pour analyser le comportement d'une fonction
• Équations différentielles : Modélisation de systèmes dynamiques
• Séries de Taylor : Approximation de fonctions à l'aide de dérivées

Ressources supplémentaires

Pour en savoir plus sur les dérivées et le calcul infinitésimal :

• Dérivée - Wikipédia
• Dérivées - Khan Academy

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