Calculateur de la Loi des Cosinus

Calculateur de la Loi des Cosinus

Bienvenue dans notre Calculateur de la Loi des Cosinus, un puissant outil de trigonométrie pour résoudre les triangles. Que vous connaissiez deux côtés et l'angle inclus (CAC) ou les trois côtés (CCC), ce calculateur fournit des solutions complètes avec des explications étape par étape, des visualisations interactives et des propriétés de triangle supplémentaires telles que l'aire et le périmètre.

Qu'est-ce que la loi des cosinus ?

La loi des cosinus (également appelée règle du cosinus) est un théorème fondamental de la trigonométrie qui relie les longueurs des côtés de n'importe quel triangle au cosinus de l'un de ses angles. C'est une généralisation du théorème de Pythagore qui fonctionne pour tous les triangles, pas seulement pour les triangles rectangles.

Où $a$, $b$ et $c$ sont les longueurs des côtés, et $C$ est l'angle opposé au côté $c$. La formule peut être réarrangée pour trouver n'importe quel côté ou angle :

Pour trouver un angle lorsque tous les côtés sont connus :

Comprendre les cas de triangles

Comment utiliser ce calculateur

1. Sélectionnez le type de cas : Choisissez CAC si vous avez deux côtés et l'angle inclus, ou CCC si vous avez les trois côtés.
2. Choisissez l'unité d'angle : Sélectionnez les degrés ou les radians en fonction de vos données d'entrée.
3. Entrez vos valeurs :
   • CAC : Entrez le côté a, le côté b et l'angle C (l'angle entre eux)
   • CCC : Entrez les trois côtés a, b et c
4. Cliquez sur Calculer : Obtenez la solution complète du triangle avec tous les côtés, les angles, l'aire et le périmètre.
5. Consultez la solution : Examinez le calcul étape par étape et la visualisation interactive du triangle.

Applications de la loi des cosinus

Loi des cosinus vs théorème de Pythagore

La loi des cosinus est une généralisation du théorème de Pythagore. Lorsque l'angle $C = 90°$, nous avons $\cos(90°) = 0$, donc la formule se simplifie en :

C'est exactement le théorème de Pythagore ! La loi des cosinus étend cette relation pour fonctionner avec n'importe quel triangle, pas seulement les triangles rectangles.

Théorème de l'inégalité triangulaire

Pour que trois longueurs forment un triangle valide, elles doivent satisfaire au théorème de l'inégalité triangulaire : la somme de deux côtés quelconques doit être supérieure au troisième côté.

• $a + b > c$
• $a + c > b$
• $b + c > a$

Notre calculateur valide automatiquement les entrées CCC par rapport à ce théorème.

Classification des triangles

La loi des cosinus peut aider à déterminer le type de triangle :

• Triangle acutangle : Si $c^2 < a^2 + b^2$ (tous les angles inférieurs à 90°)
• Triangle rectangle : Si $c^2 = a^2 + b^2$ (un angle est exactement de 90°)
• Triangle obtusangle : Si $c^2 > a^2 + b^2$ (un angle supérieur à 90°)

Loi des cosinus vs loi des sinus

Les deux lois sont essentielles pour résoudre les triangles, mais elles s'appliquent à des situations différentes :

• Loi des cosinus : Préférable pour les cas CAC et CCC
• Loi des sinus : Préférable pour les cas ACA, AAS et SSA (ambigu)
• La loi des cosinus est plus stable numériquement pour les angles obtus
• Ensemble, ces lois peuvent résoudre n'importe quel triangle si l'on dispose d'informations suffisantes

Foire aux questions

Qu'est-ce que la loi des cosinus ?

La loi des cosinus est un théorème fondamental de la trigonométrie qui relie les longueurs des côtés d'un triangle au cosinus de l'un de ses angles. La formule est $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)$, où $a$, $b$ et $c$ sont les côtés du triangle et $C$ est l'angle opposé au côté $c$. Elle généralise le théorème de Pythagore à tous les triangles.

Quand dois-je utiliser la loi des cosinus par rapport à la loi des sinus ?

Utilisez la loi des cosinus pour les cas CAC (Côté-Angle-Côté) et CCC (Côté-Côté-Côté). Utilisez la loi des sinus pour les cas ACA (Angle-Côté-Angle), AAS (Angle-Angle-Côté) et SSA (Côté-Côté-Angle). La loi des cosinus est plus stable numériquement pour les petits angles.

Qu'est-ce que le cas CAC dans la résolution de triangle ?

Le cas CAC (Côté-Angle-Côté) se produit lorsque vous connaissez deux côtés d'un triangle et l'angle entre eux (l'angle inclus). En utilisant la loi des cosinus, vous pouvez trouver le troisième côté, puis calculer les angles restants.

Qu'est-ce que le cas CCC dans la résolution de triangle ?

Le cas CCC (Côté-Côté-Côté) se produit lorsque vous connaissez les trois côtés d'un triangle. En utilisant la loi des cosinus réarrangée pour résoudre les angles, vous pouvez trouver les trois angles. Le triangle doit satisfaire le théorème de l'inégalité triangulaire.

Comment savoir si trois côtés peuvent former un triangle valide ?

Trois côtés forment un triangle valide s'ils satisfont au théorème de l'inégalité triangulaire : la somme de deux côtés quelconques doit être supérieure au troisième côté. Cela signifie que $a + b > c$, $a + c > b$ et $b + c > a$ doivent tous être vrais.

Quel est le lien entre la loi des cosinus et le théorème de Pythagore ?

La loi des cosinus est une généralisation du théorème de Pythagore. Lorsque l'angle $C$ est de 90°, $\cos(90°) = 0$, donc la formule $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)$ se réduit à $c^2 = a^2 + b^2$, qui est le théorème de Pythagore.

Ressources supplémentaires

• Loi des cosinus - Wikipédia
• Law of Cosines - Wolfram MathWorld
• Résolution d'un triangle - Wikipédia

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