Calculadora de función inversa

Calculadora de función inversa

Bienvenido a nuestra Calculadora de Función Inversa, una herramienta en línea gratuita que le ayuda a encontrar la inversa de una función con instrucciones detalladas paso a paso. Ya sea que sea un estudiante aprendiendo sobre funciones inversas, preparándose para cálculo, o un maestro creando ejemplos, esta calculadora proporciona explicaciones claras del proceso algebraico.

¿Qué es una Función Inversa?

Una función inversa, denotada como $f^{-1}(x)$, invierte la operación de la función original $f(x)$. Si $f(a) = b$, entonces $f^{-1}(b) = a$. En otras palabras, la función inversa "deshace" lo que hace la función original.

Las propiedades clave de las funciones inversas incluyen:

• Propiedad de composición: $f(f^{-1}(x)) = x$ y $f^{-1}(f(x)) = x$
• Relación gráfica: La gráfica de $f^{-1}(x)$ es el reflejo de $f(x)$ a través de la línea $y = x$
• Intercambio de dominio y rango: El dominio de $f$ se convierte en el rango de $f^{-1}$, y viceversa

Cómo Encontrar la Inversa de una Función

Siga estos pasos para encontrar la función inversa algebraicamente:

Paso 1: Reemplace f(x) con y

Comience escribiendo la función como $y = f(x)$. Esto hace que la manipulación algebraica sea más fácil.

Paso 2: Intercambie x e y

Intercambie las variables x e y en la ecuación. Esto invierte la relación entrada-salida.

Paso 3: Resuelva para y

Utilice técnicas algebraicas para aislar y en un lado de la ecuación. Este suele ser el paso más desafiante.

Paso 4: Escriba en Notación de Función

Reemplace y con $f^{-1}(x)$ para expresar la función inversa correctamente.

Paso 5: Verifique (Opcional)

Confirme su respuesta comprobando que $f(f^{-1}(x)) = x$.

Funciones Inversas Comunes

¿Cuándo Tiene una Función una Inversa?

No todas las funciones tienen funciones inversas. Una función tiene una inversa si y solo si es uno a uno (también llamada inyectiva). Esto significa que cada valor de salida corresponde exactamente a un valor de entrada.

La Prueba de la Línea Horizontal

Una función pasa la prueba de la línea horizontal si ninguna línea horizontal intersecta su gráfica más de una vez. Si una función pasa esta prueba, tiene una inversa.

• Funciones lineales (con pendiente distinta de cero) son siempre uno a uno
• Funciones cuadráticas no son uno a uno en todos los números reales (fallan la prueba de la línea horizontal)
• Funciones estrictamente monótonas (siempre crecientes o siempre decrecientes) son uno a uno

Restricción del Dominio

Cuando una función no es uno a uno, podemos restringir su dominio para hacerla uno a uno. Por ejemplo:

• $f(x) = x^2$ no es uno a uno, pero $f(x) = x^2$ para $x \geq 0$ es uno a uno con inversa $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$
• $f(x) = \sin(x)$ no es uno a uno, pero $f(x) = \sin(x)$ para $-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ es uno a uno con inversa $f^{-1}(x) = \arcsin(x)$

Ejemplos

Ejemplo 1: Función Lineal

Encuentre la inversa de $f(x) = 3x - 5$

Solución:

1. Escriba como $y = 3x - 5$
2. Intercambie: $x = 3y - 5$
3. Resuelva para y: $x + 5 = 3y$, entonces $y = \frac{x + 5}{3}$
4. Por lo tanto, $f^{-1}(x) = \frac{x + 5}{3}$

Ejemplo 2: Función Racional

Encuentre la inversa de $f(x) = \frac{x - 1}{x + 2}$

Solución:

1. Escriba como $y = \frac{x - 1}{x + 2}$
2. Intercambie: $x = \frac{y - 1}{y + 2}$
3. Resuelva: $x(y + 2) = y - 1$, entonces $xy + 2x = y - 1$
4. Reorganice: $xy - y = -1 - 2x$, entonces $y(x - 1) = -2x - 1$
5. Por lo tanto, $f^{-1}(x) = \frac{-2x - 1}{x - 1} = \frac{2x + 1}{1 - x}$

Consejos para Usar Esta Calculadora

• Ingrese funciones usando x como la variable
• Use * para multiplicación (ej., 2*x en lugar de 2x)
• Use ^ o ** para exponentes (ej., x^2 o x**2)
• Use sqrt(x) para raíz cuadrada
• Use log(x) para logaritmo natural
• Use exp(x) o e^x para función exponencial

Preguntas Frecuentes

¿Qué significa el -1 en f^(-1)(x)?

El -1 en $f^{-1}(x)$ no es un exponente. Es una notación que indica la función inversa. No debe confundirse con $\frac{1}{f(x)}$, que es el recíproco de f(x).

¿Puedo encontrar la inversa de cualquier función?

No todas las funciones tienen inversas. Solo las funciones uno a uno tienen funciones inversas. Si una función falla la prueba de la línea horizontal, no tiene una inversa en todo su dominio, pero puede restringir el dominio para crear una función invertible.

¿Cómo verifico que mi inversa es correcta?

Para verificar, compruebe que tanto $f(f^{-1}(x)) = x$ como $f^{-1}(f(x)) = x$. Si ambas composiciones son iguales a x, su inversa es correcta.

Recursos Adicionales

Para aprender más sobre funciones inversas:

• Función inversa - Wikipedia
• Funciones inversas - Khan Academy
• Función inversa - Wolfram MathWorld

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