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Calculadora de Coeficientes Binomiales

Calcule coeficientes binomiales C(n, k) con soluciones paso a paso, visualización del triángulo de Pascal y aplicaciones de probabilidad en el mundo real.

Calculadora de Coeficientes Binomiales
Ejemplos rápidos
Vista previa de la fórmula
$C(n, k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

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Calculadora de Coeficientes Binomiales

Bienvenido a la Calculadora de Coeficientes Binomiales, una herramienta gratuita en línea para calcular C(n, k): el número de formas de elegir k elementos de n elementos. Esta calculadora ofrece soluciones paso a paso, visualización del triángulo de Pascal y ejemplos de aplicaciones en el mundo real para ayudarlo a comprender los coeficientes binomiales.

¿Qué es un coeficiente binomial?

Un coeficiente binomial, expresado como C(n, k), $\binom{n}{k}$ o "n sobre k", representa el número de formas de seleccionar k elementos de un conjunto de n elementos sin tener en cuenta el orden. Es un concepto fundamental en combinatoria, teoría de la probabilidad y álgebra.

$$C(n, k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Por ejemplo, C(5, 2) = 10, lo que significa que hay 10 formas de elegir 2 elementos de 5 elementos distintos.

¿Cómo calcular C(n, k)?

Existen varios métodos para calcular coeficientes binomiales:

Método 1: Fórmula factorial

Use la definición directamente:

$$C(n, k) = \frac{n!}{k! \times (n-k)!}$$

Ejemplo: $C(5, 2) = \frac{5!}{2! \times 3!} = \frac{120}{2 \times 6} = 10$

Método 2: Fórmula multiplicativa

Un método más eficiente que evita el cálculo de factoriales grandes:

$$C(n, k) = \frac{n \times (n-1) \times \cdots \times (n-k+1)}{k \times (k-1) \times \cdots \times 1}$$

Ejemplo: $C(5, 2) = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = \frac{20}{2} = 10$

Método 3: Triángulo de Pascal

Lea el valor directamente del triángulo de Pascal, donde la fila n (empezando por la 0) contiene todos los valores C(n, 0), C(n, 1), ..., C(n, n).

Relación con el triángulo de Pascal

El triángulo de Pascal es una matriz triangular donde cada número es la suma de los dos números que están directamente encima de él. El triángulo representa maravillosamente todos los coeficientes binomiales.

Cada entrada en la fila n en la posición k es igual a C(n, k). Por ejemplo, en la fila 4, los valores [1, 4, 6, 4, 1] corresponden a C(4, 0), C(4, 1), C(4, 2), C(4, 3), C(4, 4).

Propiedades de los coeficientes binomiales

Propiedades clave
  • Simetría: C(n, k) = C(n, n-k). Elegir k elementos es equivalente a dejar fuera n-k elementos.
  • Regla de Pascal: C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k). Cada valor es la suma de los dos valores que tiene encima.
  • Suma de la fila: C(n, 0) + C(n, 1) + ... + C(n, n) = $2^n$. La suma de la fila n es igual a $2^n$.
  • Valores límite: C(n, 0) = C(n, n) = 1. Solo hay una forma de no elegir nada o elegirlo todo.
  • Identidad del palo de hockey: $\sum_{i=r}^{n} C(i, r) = C(n+1, r+1)$. La suma a lo largo de una diagonal es igual a la entrada que está debajo y a la derecha.

Aplicaciones de los coeficientes binomiales en el mundo real

Lotería y juegos de azar

Las probabilidades de la lotería se calculan utilizando coeficientes binomiales. Por ejemplo, en una lotería en la que se eligen 6 números de 49, el número total de combinaciones posibles es C(49, 6) = 13.983.816. Esto significa que las probabilidades de ganar son de aproximadamente 1 entre 14 millones.

Formación de comités

Al formar comités, los coeficientes binomiales indican cuántos grupos diferentes son posibles. Si necesita seleccionar un comité de 5 personas de entre 20 candidatos, hay C(20, 5) = 15.504 comités posibles.

Juegos de cartas

En el póker, el número de manos posibles de 5 cartas de una baraja de 52 cartas es C(52, 5) = 2.598.960. Las probabilidades de manos específicas (como un color o un full) utilizan coeficientes binomiales.

Estadística y probabilidad

La distribución binomial, que describe la probabilidad de k éxitos en n ensayos independientes, utiliza coeficientes binomiales: $P(X=k) = C(n,k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

Ciencias de la computación

Los coeficientes binomiales aparecen en el análisis de algoritmos, estructuras de datos (montículos binomiales), teoría de la codificación y problemas de optimización combinatoria.

Cómo usar esta calculadora

  1. Ingrese el valor de n: Ingrese el número total de elementos (n) en el primer campo. Esto representa el tamaño del conjunto del que está eligiendo.
  2. Ingrese el valor de k: Ingrese el número de elementos a elegir (k) en el segundo campo. Debe estar entre 0 e n.
  3. Haga clic en Calcular: Presione el botón Calcular para computar C(n, k). La herramienta mostrará el resultado junto con cálculos detallados paso a paso.
  4. Revise los resultados: Examine la solución paso a paso que muestra la aplicación de la fórmula, la visualización del triángulo de Pascal que resalta su valor, ejemplos del mundo real y valores de coeficientes binomiales relacionados.

Preguntas frecuentes

¿Qué es un coeficiente binomial?

Un coeficiente binomial C(n, k), también escrito como "n sobre k" o $\binom{n}{k}$, representa el número de formas de elegir k elementos de n elementos sin tener en cuenta el orden. Se calcula como n! / (k! × (n-k)!) y aparece en el triángulo de Pascal, la teoría de la probabilidad y el teorema del binomio.

¿Cómo se calcula C(n, k)?

Para calcular C(n, k), use la fórmula: C(n, k) = n! / (k! × (n-k)!). Por ejemplo, C(5, 2) = 5! / (2! × 3!) = 120 / (2 × 6) = 10. También puede usar la fórmula multiplicativa para facilitar el cálculo con números grandes.

¿Cuál es la relación entre los coeficientes binomiales y el triángulo de Pascal?

El triángulo de Pascal es una matriz triangular donde cada número es la suma de los dos números que están directamente encima de él. La n-ésima fila (empezando por la 0) contiene todos los coeficientes binomiales C(n, 0), C(n, 1), ..., C(n, n). Por ejemplo, la fila 4 es [1, 4, 6, 4, 1], que equivale a [C(4,0), C(4,1), C(4,2), C(4,3), C(4,4)].

¿Cuáles son algunas aplicaciones de los coeficientes binomiales en el mundo real?

Los coeficientes binomiales tienen muchas aplicaciones prácticas: el cálculo de las probabilidades de la lotería (elegir 6 números de 49), la formación de comités (seleccionar 3 personas de 10), las manos de póker (5 cartas de 52), la genética (patrones de herencia) y las pruebas de software (elección de casos de prueba). Son fundamentales en probabilidad y estadística.

¿Cuál es la propiedad de simetría de los coeficientes binomiales?

La propiedad de simetría establece que C(n, k) = C(n, n-k). Esto significa que elegir k elementos de n es equivalente a elegir qué (n-k) elementos dejar fuera. Por ejemplo, C(10, 3) = C(10, 7) = 120. Esta propiedad es visible en el triángulo de Pascal, donde cada fila es simétrica.

Referencias

Cite este contenido, página o herramienta como:

"Calculadora de Coeficientes Binomiales" en https://MiniWebtool.com/es/calculadora-de-coeficientes-binomiales/ de MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

por el equipo de miniwebtool. Actualizado: 13 de enero de 2026

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