Matrixspur-Rechner
Berechnen Sie die Spur einer quadratischen Matrix (Summe der Diagonalelemente), verifizieren Sie die Übereinstimmung mit der Summe der Eigenwerte, erkunden Sie Spureigenschaften und visualisieren Sie die Diagonale mit einer interaktiven Heatmap. Unterstützt Matrizen bis zu 10×10.
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Matrixspur-Rechner
Willkommen beim Matrixspur-Rechner, einem interaktiven Werkzeug zur Berechnung der Spur jeder quadratischen Matrix – der Summe der Elemente auf der Hauptdiagonale. Die Spur ist täuschend einfach und dennoch von großer Bedeutung: Sie entspricht der Summe der Eigenwerte, bleibt unter Ähnlichkeitstransformationen invariant und findet überall Anwendung, von der Quantenmechanik bis zum maschinellen Lernen. Dieser Rechner bietet eine schrittweise Berechnung, Eigenwert-Verifizierung, Spur von Matrixpotenzen, Eigenschaftserkennung und eine visuelle Heatmap, die die Diagonale hervorhebt.
Was ist die Spur einer Matrix?
Die Spur (engl. trace) einer n×n Matrix A, geschrieben tr(A) oder Sp(A), ist definiert als die Summe der Diagonaleinträge:
Nur quadratische Matrizen (gleiche Anzahl von Zeilen und Spalten) besitzen eine Spur. Sie ist eine der beiden grundlegendsten skalarwertigen Funktionen einer Matrix – die andere ist die Determinante.
Spur und Eigenwerte
Eine der bemerkenswertesten Eigenschaften der Spur ist ihre Verbindung zu den Eigenwerten:
Dies gilt auch dann, wenn die Eigenwerte komplexe Zahlen sind – die Imaginärteile heben sich bei reellen Matrizen immer gegenseitig auf, was eine reelle Spur garantiert. Diese Identität ergibt sich aus der Tatsache, dass sowohl die Spur als auch die Summe der Eigenwerte dem Negativen des Koeffizienten von \(x^{n-1}\) im charakteristischen Polynom \(\det(A - xI)\) entsprechen.
Wichtige Eigenschaften der Spur
Linearität
Die Spur ist ein lineares Funktional auf dem Raum der Matrizen:
- \(\text{tr}(A + B) = \text{tr}(A) + \text{tr}(B)\)
- \(\text{tr}(cA) = c \cdot \text{tr}(A)\) für jeden Skalar c
Zyklische Eigenschaft
Die Spur ist invariant unter zyklischen Vertauschungen von Matrixprodukten:
Hinweis: Dies bedeutet im Allgemeinen nicht, dass tr(ABC) = tr(BAC) gilt. Es sind nur zyklische Permutationen zulässig.
Ähnlichkeitsinvarianz
Wenn B = P-1AP für eine invertierbare Matrix P gilt, dann ist tr(B) = tr(A). Dies macht die Spur zu einer Ähnlichkeitsinvariante, was bedeutet, dass sie nicht von der Wahl der Basis abhängt.
Invarianz gegenüber Transposition
tr(A) = tr(AT), da das Transponieren einer Matrix die Diagonaleinträge nicht verändert.
Verbindung zur Frobenius-Norm
Anwendungen der Spur
Spezielle Matrizentypen und ihre Spuren
| Matrizentyp | Spur-Eigenschaft | Beispiel |
|---|---|---|
| Einheitsmatrix In | tr(I) = n | tr(I3) = 3 |
| Nullmatrix | tr(0) = 0 | Alle Einträge Null |
| Diagonalmatrix | tr = Summe der Diagonale | tr(diag(2,5,3)) = 10 |
| Spurlos (sl(n)) | tr(A) = 0 | Pauli-Matrizen, SU(n)-Generatoren |
| Symmetrisch | tr = Summe reeller Eigenwerte | Alle Eigenwerte reell |
| Orthogonal | |tr(A)| ≤ n | Rotationsmatrizen |
| Idempotent | tr(A) = Rang(A) | Projektionsmatrizen |
| Nilpotent | tr(Ak) = 0 für alle k | Alle Eigenwerte Null |
Spur von Matrixpotenzen und Newton-Identitäten
Die Spuren der Potenzen einer Matrix, tr(A), tr(A²), tr(A³), ..., enthalten vollständige Informationen über das Eigenwertspektrum. Durch die Newton-Identitäten können diese Potenzspuren das gesamte charakteristische Polynom rekonstruieren:
Das bedeutet, dass die Sequenz der Spuren {tr(A), tr(A²), ..., tr(An)} die Eigenwerte von A vollständig bestimmt.
Häufig gestellte Fragen (FAQ)
Was ist die Spur einer Matrix?
Die Spur einer quadratischen Matrix A, bezeichnet als tr(A), ist die Summe der Elemente auf der Hauptdiagonale: tr(A) = a11 + a22 + ... + ann. Sie ist nur für quadratische (n×n) Matrizen definiert. Die Spur ist eine der grundlegendsten Matrixinvarianten in der linearen Algebra.
Wie hängt die Spur mit den Eigenwerten zusammen?
Die Spur einer Matrix entspricht der Summe ihrer Eigenwerte (unter Berücksichtigung der algebraischen Vielfachheit): tr(A) = λ1 + λ2 + ... + λn. Dies liegt daran, dass sowohl die Spur als auch die Summe der Eigenwerte dem Negativen des Koeffizienten von xn-1 im charakteristischen Polynom entsprechen.
Was sind die wichtigsten Eigenschaften der Spur?
Wichtige Eigenschaften: (1) Linearität: tr(aA + bB) = a·tr(A) + b·tr(B). (2) Invarianz gegenüber Transposition: tr(A) = tr(AT). (3) Zyklische Eigenschaft: tr(ABC) = tr(BCA) = tr(CAB). (4) Ähnlichkeitsinvarianz: tr(P-1AP) = tr(A). (5) tr(ATA) = Summe der Quadrate aller Einträge = ‖A‖²F (quadrierte Frobenius-Norm).
Warum ist die Spur in der linearen Algebra wichtig?
Die Spur ist eine Ähnlichkeitsinvariante – sie ändert sich bei einem Basiswechsel nicht. Zusammen mit der Determinante charakterisiert die Spur das Verhalten linearer Transformationen. In der Physik erscheint die Spur in der Quantenmechanik (Erwartungswerte), der allgemeinen Relativitätstheorie (Ricci-Skalar) und der statistischen Mechanik (Zustandssummen). Im maschinellen Lernen wird sie zur Regularisierung und in Kernmethoden verwendet.
Was ist eine spurlose Matrix?
Eine spurlose Matrix hat tr(A) = 0, was bedeutet, dass die Summe ihrer Diagonalelemente Null ergibt. Spurlose Matrizen bilden die Lie-Algebra sl(n), die eine zentrale Rolle in der theoretischen Physik und Differentialgeometrie spielt. Jede Matrix kann zerlegt werden als A = (tr(A)/n)I + B, wobei B spurlos ist.
Wie berechnet man die Spur einer Matrix?
Zur Berechnung der Spur: (1) Identifizieren Sie die Hauptdiagonalelemente a11, a22, ..., ann – dies sind die Einträge, bei denen der Zeilenindex dem Spaltenindex entspricht. (2) Addieren Sie diese: tr(A) = a11 + a22 + ... + ann. Zum Beispiel für [[1,2],[3,4]] ist die Spur 1 + 4 = 5.
Zusätzliche Ressourcen
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"Matrixspur-Rechner" unter https://MiniWebtool.com/de// von MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/
vom miniwebtool-Team. Aktualisiert: 21. Feb. 2026
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