Kosinussatz-Rechner

Kosinussatz-Rechner

Willkommen zu unserem Kosinussatz-Rechner, einem leistungsstarken Trigonometrie-Tool zum Lösen von Dreiecken. Ob Sie zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel (SWS) oder alle drei Seiten (SSS) kennen, dieser Rechner bietet vollständige Lösungen mit Schritt-für-Schritt-Erklärungen, interaktiven Visualisierungen und zusätzlichen Dreieckseigenschaften wie Fläche und Umfang.

Was ist der Kosinussatz?

Der Kosinussatz ist ein grundlegender Satz der Trigonometrie, der die Längen der Seiten eines beliebigen Dreiecks mit dem Kosinus eines seiner Winkel in Beziehung setzt. Er ist eine Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras und funktioniert für alle Dreiecke, nicht nur für rechtwinklige Dreiecke.

Dabei sind $a$, $b$ und $c$ die Längen der Seiten und $C$ der Winkel gegenüber der Seite $c$. Die Formel kann umgestellt werden, um jede Seite oder jeden Winkel zu finden:

Um einen Winkel zu finden, wenn alle Seiten bekannt sind:

Dreiecksfälle verstehen

So verwenden Sie diesen Rechner

1. Falltyp auswählen: Wählen Sie SWS, wenn Sie zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel haben, oder SSS, wenn Sie alle drei Seiten haben.
2. Winkeleinheit wählen: Wählen Sie Grad oder Radianten basierend auf Ihren Eingabedaten.
3. Werte eingeben:
   • SWS: Geben Sie Seite a, Seite b und Winkel C (den Winkel dazwischen) ein
   • SSS: Geben Sie alle drei Seiten a, b und c ein
4. Auf Berechnen klicken: Erhalten Sie die vollständige Dreieckslösung mit allen Seiten, Winkeln, Fläche und Umfang.
5. Lösung überprüfen: Sehen Sie sich die Schritt-für-Schritt-Berechnung und die interaktive Dreiecksvisualisierung an.

Anwendungen des Kosinussatzes

Kosinussatz vs. Satz des Pythagoras

Der Kosinussatz ist eine Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras. Wenn der Winkel $C = 90°$ ist, haben wir $\cos(90°) = 0$, sodass sich die Formel vereinfacht zu:

Dies ist genau der Satz des Pythagoras! Der Kosinussatz erweitert diese Beziehung auf jedes beliebige Dreieck, nicht nur auf rechtwinklige Dreiecke.

Dreiecksungleichungssatz

Damit drei Längen ein gültiges Dreieck bilden können, müssen sie den Dreiecksungleichungssatz erfüllen: Die Summe zweier beliebiger Seiten muss größer als die dritte Seite sein.

• $a + b > c$
• $a + c > b$
• $b + c > a$

Unser Rechner validiert SSS-Eingaben automatisch gegen diesen Satz.

Dreiecke klassifizieren

Der Kosinussatz kann helfen, den Typ des Dreiecks zu bestimmen:

• Spitzwinkliges Dreieck: Wenn $c^2 < a^2 + b^2$ (alle Winkel kleiner als 90°)
• Rechtwinkliges Dreieck: Wenn $c^2 = a^2 + b^2$ (ein Winkel ist genau 90°)
• Stumpfwinkliges Dreieck: Wenn $c^2 > a^2 + b^2$ (ein Winkel größer als 90°)

Kosinussatz vs. Sinussatz

Beide Sätze sind essenziell für das Lösen von Dreiecken, finden aber in unterschiedlichen Situationen Anwendung:

• Kosinussatz: Am besten für SWS und SSS Fälle
• Sinussatz: Am besten für WSW, WWS und SSW (mehrdeutig) Fälle
• Der Kosinussatz ist numerisch stabiler für stumpfe Winkel
• Zusammen können diese Sätze jedes Dreieck lösen, wenn ausreichende Informationen vorliegen

Häufig gestellte Fragen

Was ist der Kosinussatz?

Der Kosinussatz ist ein grundlegender Satz der Trigonometrie, der die Längen der Seiten eines Dreiecks mit dem Kosinus eines seiner Winkel in Beziehung setzt. Die Formel lautet $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)$, wobei $a$, $b$ und $c$ die Seiten des Dreiecks sind und $C$ der Winkel gegenüber der Seite $c$ ist. Er verallgemeinert den Satz des Pythagoras für alle Dreiecke.

Wann sollte ich den Kosinussatz vs. den Sinussatz verwenden?

Verwenden Sie den Kosinussatz für SWS (Seite-Winkel-Seite) und SSS (Seite-Seite-Seite) Fälle. Verwenden Sie den Sinussatz für WSW (Winkel-Seite-Winkel), WWS (Winkel-Winkel-Seite) und SSW (Seite-Seite-Winkel) Fälle. Der Kosinussatz ist numerisch stabiler für kleine Winkel.

Was ist der SWS-Fall beim Lösen von Dreiecken?

SWS (Seite-Winkel-Seite) liegt vor, wenn Sie zwei Seiten eines Dreiecks und den Winkel zwischen ihnen (den eingeschlossenen Winkel) kennen. Mit dem Kosinussatz können Sie die dritte Seite finden und dann die verbleibenden Winkel berechnen.

Was ist der SSS-Fall beim Lösen von Dreiecken?

SSS (Seite-Seite-Seite) liegt vor, wenn Sie alle drei Seiten eines Dreiecks kennen. Mit dem nach Winkeln umgestellten Kosinussatz können Sie alle drei Winkel finden. Das Dreieck muss den Dreiecksungleichungssatz erfüllen.

Wie erkenne ich, ob drei Seiten ein gültiges Dreieck bilden können?

Drei Seiten bilden ein gültiges Dreieck, wenn sie den Dreiecksungleichungssatz erfüllen: Die Summe zweier beliebiger Seiten muss größer als die dritte Seite sein. Das bedeutet, $a + b > c$, $a + c > b$ und $b + c > a$ müssen alle wahr sein.

Wie hängt der Kosinussatz mit dem Satz des Pythagoras zusammen?

Der Kosinussatz ist eine Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras. Wenn der Winkel $C$ 90° beträgt, ist $\cos(90°) = 0$, sodass sich die Formel $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)$ auf $c^2 = a^2 + b^2$ reduziert, was dem Satz des Pythagoras entspricht.

Zusätzliche Ressourcen

• Kosinussatz - Wikipedia
• Law of Cosines - Wolfram MathWorld
• Dreiecksberechnung - Wikipedia

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