Einzelvariable-Ableitungsrechner

Willkommen beim Einzelvariable Ableitungsrechner, einem fortschrittlichen Werkzeug, das Ableitungen jeder Funktion mit einer Variablen berechnet. Es bietet detaillierte Schritt-für-Schritt-Lösungen, die Identifizierung von Differenzierungsregeln, interaktive Grafiken und Analysen kritischer Punkte. Ob Sie ein Kalkül-Student sind, der das Differenzieren lernt, ein Lehrer, der Beispiele vorbereitet, oder ein Ingenieur, der Änderungsraten-Probleme löst – dieser Rechner liefert genaue Ergebnisse mit klaren Erklärungen.

Was ist eine Ableitung?

Die Ableitung einer Funktion misst die momentane Änderungsrate der Ausgabe der Funktion in Bezug auf ihre Eingabe. Geometrisch entspricht die Ableitung an einem Punkt der Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion an diesem Punkt.

Referenz der Ableitungsregeln

Dieser Rechner identifiziert, welche Regeln in jedem Schritt angewendet werden. Hier ist eine Kurzübersicht:

So verwenden Sie diesen Rechner

1. Geben Sie Ihre Funktion ein: Tippen Sie die Funktion mit mathematischer Standardnotation ein. Verwenden Sie ^ für Potenzen, * für Multiplikation und Standard-Funktionsnamen wie sin(x), cos(x), e^x, ln(x), sqrt(x).
2. Legen Sie die Variable fest: Normalerweise x, aber Sie können jeden Buchstaben verwenden.
3. Wählen Sie die Ordnung: 1 für die erste Ableitung, 2 für die zweite Ableitung, bis zu 10.
4. An einem Punkt auswerten (optional): Geben Sie eine Zahl oder einen Ausdruck wie pi ein, um die Ableitung an diesem spezifischen Wert auszuwerten.
5. Klicken Sie auf "Ableitung berechnen": Sehen Sie das Ergebnis, die Schritt-für-Schritt-Lösung, den interaktiven Graphen und die kritischen Punkte.

Unterstützte Eingabesyntax

Ableitungen höherer Ordnung verstehen

Die zweite Ableitung \(f''(x)\) misst, wie sich die erste Ableitung selbst ändert – sie gibt Aufschluss über die Krümmung (Konkavität) der ursprünglichen Funktion. Die dritte Ableitung misst die Änderungsrate der Krümmung (in der Physik manchmal als "Ruck" bezeichnet). Dieser Rechner unterstützt Ableitungen bis zur 10. Ordnung und berechnet jede davon Schritt für Schritt.

Anwendungen von Ableitungen höherer Ordnung

• 2. Ableitung: Krümmungsanalyse, Wendepunkte, Beschleunigung in der Physik
• 3. Ableitung: Ruck (Änderungsrate der Beschleunigung), Verfeinerung der Kurvendiskussion
• 4.+ Ableitungen: Taylorreihen-Approximationen, Schwingungsanalyse, Signalverarbeitung

Was sind kritische Punkte?

Ein kritischer Punkt einer Funktion ist ein Wert von \(x\), bei dem die Ableitung gleich Null oder undefiniert ist. An diesen Punkten kann die Funktion ein lokales Maximum, ein lokales Minimum oder einen Wendepunkt haben. Dieser Rechner löst automatisch \(f'(x) = 0\) und zeigt die kritischen Punkte für Ihre Analyse an.

Anwendungen von Ableitungen

• Physik: Geschwindigkeit und Beschleunigung aus Positionsfunktionen
• Wirtschaft: Grenzkosten, Grenzerlös und Gewinnoptimierung
• Ingenieurwesen: Änderungsratenanalyse in Steuerungssystemen
• Biologie: Modellierung von Bevölkerungswachstumsraten
• Optimierung: Finden von Maximal- und Minimalwerten von Funktionen

Häufig gestellte Fragen

Wie gebe ich eine Funktion in den Ableitungsrechner ein?

Geben Sie die Funktion in Standard-Mathematiknotation ein. Verwenden Sie ^ oder ** für Exponenten (x^3), * für Multiplikation (2*x) und Standard-Funktionsnamen wie sin(x), cos(x), tan(x), e^x, ln(x), sqrt(x). Der Rechner verarbeitet implizite Multiplikationen wie 2x automatisch.

Welche Ableitungsregeln zeigt dieser Rechner an?

Der Rechner identifiziert und kennzeichnet jede verwendete Ableitungsregel: Potenzregel, Produktregel, Quotientenregel, Kettenregel, Summen-/Differenzregel, Faktorregel, Exponentialregel, trigonometrische Regel und logarithmische Regel. Jeder Schritt zeigt, welche Regeln angewendet wurden.

Kann dieser Rechner Ableitungen höherer Ordnung berechnen?

Ja, der Rechner unterstützt Ableitungen von der 1. bis zur 10. Ordnung. Stellen Sie einfach das Feld "Ordnung der Ableitung" auf die gewünschte Ordnung ein. Die Schritt-für-Schritt-Lösung zeigt jede aufeinanderfolgende Differenzierung.

Was sind kritische Punkte und warum zeigt der Rechner sie an?

Kritische Punkte sind Werte von x, bei denen die Ableitung gleich Null ist \(f'(x) = 0\). Diese Punkte entsprechen oft lokalen Maxima, lokalen Minima oder Wendepunkten der ursprünglichen Funktion. Der Rechner findet und zeigt diese Punkte an, um Ihnen zu helfen, das Funktionsverhalten zu verstehen.

Welche Funktionen werden von diesem Ableitungsrechner unterstützt?

Der Rechner unterstützt Polynome, trigonometrische Funktionen (sin, cos, tan, cot, sec, csc), inverse trigonometrische Funktionen (arcsin, arccos, arctan), Exponentialfunktionen (e^x, a^x), Logarithmusfunktionen (ln, log), Quadratwurzeln (sqrt), Betragsfunktionen und Verknüpfungen dieser Funktionen.

Zusätzliche Ressourcen

• Ableitung - Wikipedia
• Differentialrechnung - Khan Academy