Calculadora de Traço de Matriz

Q: Quais são as principais propriedades do traço?

Principais propriedades: (1) Linearidade: tr(aA + bB) = a·tr(A) + b·tr(B). (2) Invariância da transposta: tr(A) = tr(Aᵀ). (3) Propriedade cíclica: tr(ABC) = tr(BCA) = tr(CAB). (4) Invariância por similaridade: tr(P⁻¹AP) = tr(A). (5) tr(Aᵀ A) = soma dos quadrados de todas as entradas = ||A||²_F (norma de Frobenius ao quadrado).

Q: O que é uma matriz de traço nulo?

Uma matriz de traço nulo possui tr(A) = 0, o que significa que seus elementos da diagonal somam zero. Matrizes de traço nulo formam a álgebra de Lie sl(n), que desempenha um papel central na física teórica e geometria diferencial. Toda matriz pode ser decomposta como A = (tr(A)/n)I + B, onde B é de traço nulo — separando a parte 'escalar' da parte 'sem traço'.

Calcule o traço de uma matriz quadrada (soma dos elementos da diagonal), verifique sua igualdade com a soma dos autovalores, explore as propriedades do traço e visualize a diagonal com um mapa de calor interativo. Suporta matrizes de até 10×10.

Calculadora de Traço de Matriz

Tente matrizes de exemplo:

3×3 Básica (tr=15) 3×3 Identidade (tr=3) 2×2 Traço Nulo 3×3 Fracionária (tr=5/2) 4×4 Geral (tr=14)

Insira a Matriz Quadrada (uma linha por campo)

Precisão Decimal

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Nota: O traço só é definido para matrizes quadradas. Insira uma linha por campo, separe os valores com vírgulas ou espaços. Suporta até 10×10.

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Calculadora de Traço de Matriz

Bem-vindo à Calculadora de Traço de Matriz, uma ferramenta interativa para computar o traço de qualquer matriz quadrada — a soma dos elementos na diagonal principal. O traço é enganosamente simples, mas profundamente importante: ele é igual à soma dos autovalores, permanece invariante sob transformações de similaridade e aparece em todos os lugares, da mecânica quântica ao aprendizado de máquina. Esta calculadora fornece computação passo a passo, verificação de autovalores, traço de potências de matriz, detecção de propriedades e um mapa de calor visual destacando a diagonal.

O que é o Traço de uma Matriz?

O traço de uma matriz n×n A, escrito como tr(A), é definido como a soma das entradas da diagonal:

Definição de Traço

$$\text{tr}(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ii} = a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn}$$

Apenas matrizes quadradas (mesmo número de linhas e colunas) possuem um traço. É uma das duas funções de valor escalar mais fundamentais de uma matriz — sendo a outra o determinante.

Traço e Autovalores

Uma das propriedades mais notáveis do traço é sua conexão com os autovalores:

Relação Traço-Autovalor

$$\text{tr}(A) = \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n$$

Isso é válido mesmo quando os autovalores são números complexos — as partes imaginárias sempre se cancelam para matrizes reais, garantindo um traço real. Esta identidade decorre do fato de que tanto o traço quanto a soma dos autovalores são iguais ao negativo do coeficiente de $x^{n-1}$ no polinômio característico $\det(A - xI)$.

Propriedades Chave do Traço

Linearidade

O traço é um funcional linear no espaço das matrizes:

$\text{tr}(A + B) = \text{tr}(A) + \text{tr}(B)$
$\text{tr}(cA) = c \cdot \text{tr}(A)$ para qualquer escalar c

Propriedade Cíclica

O traço é invariante sob permutações cíclicas de produtos de matrizes:

Propriedade Cíclica

$$\text{tr}(ABC) = \text{tr}(BCA) = \text{tr}(CAB)$$

Nota: isso não significa que tr(ABC) = tr(BAC) em geral. Apenas permutações cíclicas são permitidas.

Invariância por Similaridade

Se B = P^-1AP para alguma matriz invertível P, então tr(B) = tr(A). Isso torna o traço um invariante por similaridade, o que significa que ele não depende da escolha da base.

Invariância da Transposta

tr(A) = tr(A^T), porque transpor uma matriz não altera as entradas da diagonal.

Conexão com a Norma de Frobenius

Norma de Frobenius via Traço

$$\|A\|_F^2 = \text{tr}(A^T A) = \sum_{i,j} a_{ij}^2$$

Aplicações do Traço

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Mecânica Quântica

O valor esperado de um observável é $\langle A \rangle = \text{tr}(\rho A)$ onde ρ é a matriz de densidade. O traço é central para calcular valores esperados, entropia de emaranhamento e fidelidade.

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Relatividade Geral

O escalar de Ricci R = g^μνR_μν é um traço do tensor de Ricci em relação à métrica. Ele mede quão curvado é o espaço-tempo.

📊

Aprendizado de Máquina

A regularização de traço tr(W^TW) penaliza pesos grandes, e a norma nuclear (norma de traço) é usada para completamento de matrizes e otimização de baixo posto.

🎯

Estatística

Na estatística multivariada, a variância total de um vetor aleatório é igual ao traço de sua matriz de covariância: variância total = tr(Σ).

Tipos Especiais de Matrizes e Seus Traços

Tipo de Matriz	Propriedade do Traço	Exemplo
Identidade I_n	tr(I) = n	tr(I₃) = 3
Matriz Zero	tr(0) = 0	Todas as entradas zero
Matriz Diagonal	tr = soma da diagonal	tr(diag(2,5,3)) = 10
Traço Nulo (sl(n))	tr(A) = 0	Matrizes de Pauli, geradores SU(n)
Simétrica	tr = soma dos autovalores reais	Todos os autovalores reais
Ortogonal	\|tr(A)\| ≤ n	Matrizes de rotação
Idempotente	tr(A) = posto(A)	Matrizes de projeção
Nilpotente	tr(A^k) = 0 para todo k	Todos os autovalores zero

Traço de Potências de Matriz e Identidades de Newton

Os traços das potências de uma matriz, tr(A), tr(A²), tr(A³), ..., contêm informações completas sobre o espectro de autovalores. Através das identidades de Newton, esses traços de potência podem reconstruir todo o polinômio característico:

Relações de Traço de Potência

$$\text{tr}(A^k) = \lambda_1^k + \lambda_2^k + \cdots + \lambda_n^k$$

Isso significa que a sequência de traços {tr(A), tr(A²), ..., tr(Aⁿ)} determina completamente os autovalores de A.

Perguntas Frequentes

O que é o traço de uma matriz?

O traço de uma matriz quadrada A, denotado por tr(A), é a soma dos elementos na diagonal principal: tr(A) = a₁₁ + a₂₂ + ... + a_nn. Ele só é definido para matrizes quadradas (n×n). O traço é um dos invariantes de matriz mais fundamentais na álgebra linear.

Como o traço está relacionado aos autovalores?

O traço de uma matriz é igual à soma de seus autovalores (contados com multiplicidade algébrica): tr(A) = λ₁ + λ₂ + ... + λ_n. Isso ocorre porque o traço e a soma dos autovalores são ambos o negativo do coeficiente de x^n-1 no polinômio característico.

Quais são as principais propriedades do traço?

Propriedades principais: (1) Linearidade: tr(aA + bB) = a·tr(A) + b·tr(B). (2) Invariância da transposta: tr(A) = tr(A^T). (3) Propriedade cíclica: tr(ABC) = tr(BCA) = tr(CAB). (4) Invariância por similaridade: tr(P^-1AP) = tr(A). (5) tr(A^TA) = soma dos quadrados de todas as entradas = ‖A‖²_F (norma de Frobenius ao quadrado).

Por que o traço é importante na álgebra linear?

O traço é um invariante por similaridade — ele não muda sob mudança de base. Junto com o determinante, o traço caracteriza o comportamento de transformações lineares. Na física, o traço aparece na mecânica quântica (valores esperados), relatividade geral (escalar de Ricci) e mecânica estatística (funções de partição). No aprendizado de máquina, é usado em regularização e métodos de kernel.

O que é uma matriz de traço nulo?

Uma matriz de traço nulo tem tr(A) = 0, o que significa que seus elementos da diagonal somam zero. Matrizes de traço nulo formam a álgebra de Lie sl(n), que desempenha um papel central na física teórica e geometria diferencial. Toda matriz pode ser decomposta como A = (tr(A)/n)I + B, onde B é de traço nulo.

Como calcular o traço de uma matriz?

Para calcular o traço: (1) Identifique os elementos da diagonal principal a₁₁, a₂₂, ..., a_nn — estas são as entradas onde o índice da linha é igual ao índice da coluna. (2) Some-os: tr(A) = a₁₁ + a₂₂ + ... + a_nn. Por exemplo, para [[1,2],[3,4]], o traço é 1 + 4 = 5.

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pela equipe miniwebtool. Atualizado em: 21 de fev de 2026

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O que é o Traço de uma Matriz?

Traço e Autovalores

Propriedades Chave do Traço

Linearidade

Propriedade Cíclica

Invariância por Similaridade

Invariância da Transposta

Conexão com a Norma de Frobenius

Aplicações do Traço

Tipos Especiais de Matrizes e Seus Traços

Traço de Potências de Matriz e Identidades de Newton

Perguntas Frequentes

O que é o traço de uma matriz?

Como o traço está relacionado aos autovalores?

Quais são as principais propriedades do traço?

Por que o traço é importante na álgebra linear?

O que é uma matriz de traço nulo?

Como calcular o traço de uma matriz?

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