Calculadora de Números Complexos

Q: Como faço para converter entre as formas retangular e polar?

Para converter de retangular (a+bi) para polar (r∠θ): calcule r = √(a² + b²) para o módulo e θ = arctan(b/a) para o argumento. Para converter de polar para retangular: calcule a = r·cos(θ) para a parte real e b = r·sin(θ) para a parte imaginária.

Q: Como encontro as raízes enésimas de um número complexo?

Para encontrar as n raízes enésimas de z = r∠θ, use a fórmula: raiz_k = r^(1/n) ∠ ((θ + 2πk)/n) para k = 0, 1, 2, ..., n-1. Isso resulta em n raízes distintas igualmente espaçadas em torno de um círculo de raio r^(1/n) no plano complexo.

Realize operações com números complexos: adicione, subtraia, multiplique, divida, converta formas, calcule módulo, argumento, conjugado, potências e raízes com soluções detalhadas passo a passo e visualização interativa no plano complexo.

Calculadora de Números Complexos

Exemplos Rápidos - Clique para Testar

+ Adição (3+4i)+(1-2i)

- Subtração (5+3i)-(2+i)

× Multiplicação (2+3i)×(4-i)

÷ Divisão (6+8i)÷(3-4i)

|z| Módulo |3+4i|

∠ Argumento arg(1+i)

z̄ Conjugado conj(4-3i)

→∠ Para Polar 3+4i → r∠θ

→z Para Retan 5∠53° → a+bi

zⁿ Potência (1+i)⁴

ⁿ√ Raízes ³√8

z₁ Primeiro Número Complexo

Aceita a forma retangular (a+bi) ou polar (r∠θ°)

⚙ Operação

z₂ Segundo Número Complexo

n Expoente / Grau da Raiz

Número inteiro positivo para operações de potência ou raiz

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Calculadora de Números Complexos

Bem-vindo à Calculadora de Números Complexos, uma poderosa ferramenta matemática para realizar operações em números complexos com soluções passo a passo e visualizações interativas. Seja você um estudante aprendendo sobre números imaginários, um engenheiro analisando circuitos AC ou um matemático explorando o plano complexo, esta calculadora oferece soluções abrangentes para todas as suas computações de números complexos.

O Que é um Número Complexo?

Um número complexo é um número que pode ser expresso na forma $ a + bi $, onde $ a $ e $ b $ são números reais, e $ i $ é a unidade imaginária que satisfaz $ i^2 = -1 $. O número $ a $ é chamado de parte real, e $ b $ é chamado de parte imaginária do número complexo.

Forma Retangular

Escrito como $ z = a + bi $, representando um ponto com coordenadas (a, b) no plano complexo.

Forma Polar

Escrito como $ z = r \angle \theta $ ou $ z = re^{i\theta} $, onde r é o módulo e theta é o argumento.

A Unidade Imaginária

O símbolo $ i $ representa $ \sqrt{-1} $, permitindo soluções para equações como $ x^2 + 1 = 0 $.

Operações Suportadas

Operações Aritméticas

Adição

$$ (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i $$

Subtração

$$ (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i $$

Multiplicação

$$ (a + bi) \times (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i $$

Divisão

$$ \frac{a + bi}{c + di} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2} $$

Propriedades dos Números Complexos

Módulo: $ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} $ - a distância da origem
Argumento: $ \arg(z) = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) $ - o ângulo com o eixo real positivo
Conjugado: $ \overline{z} = a - bi $ - reflexão através do eixo real

Conversões de Forma

Retangular para Polar

$$ z = a + bi \Rightarrow r = \sqrt{a^2 + b^2}, \quad \theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) $$

Polar para Retangular

$$ z = r \angle \theta \Rightarrow a = r\cos\theta, \quad b = r\sin\theta $$

Potências e Raízes

Teorema de De Moivre (Potências)

$$ (r \angle \theta)^n = r^n \angle (n\theta) $$

Raízes Enésimas

$$ \sqrt[n]{r \angle \theta} = \sqrt[n]{r} \angle \left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right), \quad k = 0, 1, ..., n-1 $$

Como Usar Esta Calculadora

Insira seu número complexo: Use a forma retangular (ex: 3+4i, -2-5i) ou forma polar (ex: 5∠45°, 3∠π/4). A calculadora detecta automaticamente o formato.
Selecione uma operação: Escolha entre operações aritméticas, conversões ou funções como módulo, argumento, potência e raiz.
Insira entradas adicionais: Para operações binárias, insira um segundo número complexo. Para potência/raiz, insira o expoente.
Clique em Calcular: Veja os resultados nas formas retangular e polar, com soluções passo a passo detalhadas e visualização no plano complexo.

Aplicações de Números Complexos

Engenharia Elétrica

A análise de circuitos AC usa impedância complexa para representar resistência, capacitância e indutância.

Processamento de Sinais

As transformadas de Fourier usam exponenciais complexas para analisar e filtrar sinais.

Mecânica Quântica

As funções de onda têm valores complexos, com a probabilidade dada pelo quadrado do módulo.

Sistemas de Controle

Polos e zeros no plano complexo determinam a estabilidade e a resposta do sistema.

Perguntas Frequentes

O que é um número complexo?

Um número complexo é um número que pode ser expresso na forma a + bi, onde a e b são números reais, e i é a unidade imaginária que satisfaz i² = -1. A parte real é 'a' e a parte imaginária é 'b'. Os números complexos estendem o sistema numérico real e são essenciais em muitas áreas da matemática, física e engenharia.

Como faço para converter entre as formas retangular e polar?

Para converter de retangular (a+bi) para polar (r ângulo teta): calcule r = sqrt(a² + b²) para o módulo e teta = arctan(b/a) para o argumento. Para converter de polar para retangular: calcule a = r vezes cos(teta) para a parte real e b = r vezes sin(teta) para a parte imaginária.

O que é o Teorema de De Moivre?

O Teorema de De Moivre afirma que para um número complexo na forma polar z = r(cos teta + i sin teta) e qualquer número inteiro n: z^n = r^n(cos(n vezes teta) + i sin(n vezes teta)). Este teorema torna o cálculo de potências e raízes de números complexos muito mais simples ao trabalhar com a forma polar em vez de multiplicação repetida.

Como encontro as raízes enésimas de um número complexo?

Para encontrar as n raízes enésimas de z = r ângulo teta, use a fórmula: raiz_k = r^(1/n) ângulo ((teta + 2 pi k)/n) para k = 0, 1, 2, ..., n-1. Isso resulta em n raízes distintas igualmente espaçadas em torno de um círculo de raio r^(1/n) no plano complexo.

Quais são as aplicações dos números complexos?

Os números complexos são usados na engenharia elétrica para análise de circuitos AC, processamento de sinais para transformadas de Fourier, mecânica quântica para funções de onda, sistemas de controle para análise de estabilidade, dinâmica de fluidos e resolução de equações polinomiais. Eles fornecem soluções elegantes para problemas que seriam difíceis apenas com números reais.

Recursos Adicionais

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pela equipe miniwebtool. Atualizado em: 20 de janeiro de 2026

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O Que é um Número Complexo?

Forma Retangular

Forma Polar

A Unidade Imaginária

Operações Suportadas

Operações Aritméticas

Propriedades dos Números Complexos

Conversões de Forma

Potências e Raízes

Como Usar Esta Calculadora

Aplicações de Números Complexos

Engenharia Elétrica

Processamento de Sinais

Mecânica Quântica

Sistemas de Controle

Perguntas Frequentes

O que é um número complexo?

Como faço para converter entre as formas retangular e polar?

O que é o Teorema de De Moivre?

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