Calculadora de Módulo

Q: O que é a operação de módulo (mod)?

A operação de módulo (frequentemente abreviada como mod) encontra o resto após a divisão de um número por outro. Por exemplo, 17 mod 5 = 2 porque 17 dividido por 5 é igual a 3 com um resto de 2. Matematicamente: a mod n = r onde a = n × q + r e 0 ≤ r < |n|.

Q: Como se calcula o módulo?

Para calcular a mod n: 1) Divida a por n e encontre o quociente inteiro q = floor(a/n). 2) Multiplique q por n. 3) Subtraia de a para obter o resto: r = a - n × q. Por exemplo, 17 mod 5: q = floor(17/5) = 3, r = 17 - 5 × 3 = 17 - 15 = 2.

Q: Qual é a diferença entre mod e resto?

Para números positivos, módulo e resto são idênticos. A diferença aparece com números negativos. Na matemática, o módulo sempre retorna um resultado não negativo (0 ≤ r < |n|), enquanto o resto pode ser negativo dependendo da linguagem de programação. Esta calculadora utiliza a definição matemática.

Q: Quais são os usos comuns da operação de módulo?

O módulo é usado para: 1) Verificar se um número é par/ímpar (n mod 2), 2) Aritmética de relógio (conversão de 24 horas para 12 horas), 3) Padrões cíclicos e matrizes circulares, 4) Funções de hash e criptografia, 5) Geração de números pseudo-aleatórios, 6) Determinação da divisibilidade, 7) Cálculos de calendário.

Q: Como o módulo funciona com números negativos?

Com números negativos, existem diferentes convenções. Na matemática e nesta calculadora, o resultado é sempre não negativo: -17 mod 5 = 3 (não -2). Isso ocorre porque -17 = 5 × (-4) + 3. Algumas linguagens de programação retornam -2 usando a divisão truncada. Entender essa diferença é crucial para a programação.

Q: O módulo pode funcionar com números decimais?

Sim, o módulo pode ser estendido a números decimais (ponto flutuante). Por exemplo, 7,5 mod 2,5 = 0 porque 7,5 = 2,5 × 3 + 0. E 8,7 mod 2,5 = 1,2 porque 8,7 = 2,5 × 3 + 1,2. Esta calculadora suporta cálculos de módulo decimal com alta precisão.

Calcule o módulo (resto) com o processo de divisão passo a passo, diagramas visuais interativos e suporte para números inteiros, decimais, números negativos e notação científica.

Calculadora de Módulo

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Calculadora de Módulo

Bem-vindo à Calculadora de Módulo, uma ferramenta online gratuita abrangente para calcular o módulo (resto) de quaisquer dois números. Esta calculadora fornece detalhamentos de divisão passo a passo, diagramas visuais interativos e suporta números inteiros, decimais, negativos e notação científica. Esteja você aprendendo matemática, programação ou resolvendo problemas de criptografia, esta ferramenta torna as operações de módulo claras e fáceis de entender.

O Que é a Operação de Módulo (Mod)?

A operação de módulo (frequentemente escrita como mod ou %) encontra o resto após dividir um número (o dividendo) por outro (o divisor). Ela responde à pergunta: "Após dividir a por n, quanto sobra?"

Definição de Módulo

$a \mod n = r$ onde $a = n \times q + r$ e $0 \le r < |n|$

Aqui, $a$ é o dividendo, $n$ é o divisor, $q$ é o quociente (parte inteira da divisão) e $r$ é o resto (o resultado do módulo).

Exemplo: 17 mod 5

17 dividido por 5 = 3 com resto 2

Porque: 17 = 5 × 3 + 2

Portanto: 17 mod 5 = 2

Como Calcular o Módulo

Insira o dividendo (a): Digite o número que você deseja dividir. Pode ser positivo, negativo, um decimal ou em notação científica (ex: 1.5e10).
Insira o divisor (n): Digite o número pelo qual você está dividindo. Não pode ser zero, mas pode ser positivo, negativo ou um decimal.
Clique em Calcular Módulo: Pressione o botão para ver seu resultado com um detalhamento completo passo a passo.
Revise os resultados: Veja o resto, quociente, equação de verificação e (para inteiros positivos simples) um diagrama visual mostrando o agrupamento.

Etapas de Cálculo Manual

Para calcular $a \mod n$ manualmente:

Dividir: Calcule $a \div n$
Arredondar (Floor): Pegue o "chão" (arredonde para o infinito negativo) para obter o quociente $q = \lfloor a/n \rfloor$
Multiplicar: Calcule $n \times q$
Subtrair: Calcule o resto $r = a - n \times q$

Exemplo: Calcular 23 mod 7

Passo 1: 23 ÷ 7 = 3,2857...

Passo 2: q = floor(3,2857) = 3

Passo 3: 7 × 3 = 21

Passo 4: r = 23 - 21 = 2

Usos Comuns do Módulo

🔢

Verificação de Par/Ímpar

n mod 2 = 0 significa que n é par; n mod 2 = 1 significa que n é ímpar. Este é o uso mais comum de módulo na programação.

🕐

Aritmética de Relógio

Converter formato de 24 horas para 12 horas: 14 mod 12 = 2 (14:00 é 2:00 PM). Calcular tempo ao passar da meia-noite.

🔄

Padrões Cíclicos

Criar sequências repetitivas, matrizes circulares e escalonamento round-robin. O índice i mod n garante que permaneça dentro dos limites.

🔐

Criptografia

A criptografia RSA, a troca de chaves Diffie-Hellman e as funções de hash dependem fortemente da aritmética modular.

📊

Funções de Hash

hash(key) mod table_size determina onde armazenar dados em tabelas de hash, garantindo que os índices permaneçam nos limites da matriz.

📅

Cálculos de Calendário

Determinar dia da semana, anos bissextos e aritmética de datas. Os dias se repetem a cada 7, então dia mod 7 fornece o dia da semana.

Módulo com Diferentes Tipos de Números

Inteiros Positivos

Para inteiros positivos, o módulo é direto: o resto está sempre entre 0 e n-1.

10 mod 3 = 1 (porque 10 = 3 × 3 + 1)
15 mod 5 = 0 (porque 15 = 5 × 3 + 0, divisão exata)
7 mod 10 = 7 (porque 7 = 10 × 0 + 7, dividendo menor que o divisor)

Números Negativos

Os números negativos podem ser complicados porque diferentes sistemas definem o módulo de maneira diferente. Esta calculadora utiliza a definição matemática, onde o resto é sempre não negativo (0 a |n|-1):

-17 mod 5 = 3 (não -2), porque -17 = 5 × (-4) + 3
-7 mod 3 = 2 (não -1), porque -7 = 3 × (-3) + 2
17 mod -5 = 2 (porque 17 = -5 × (-3) + 2)

Convenção de Programação vs Matemática

As linguagens de programação variam ao lidar com módulo negativo:

Python: -17 % 5 = 3 (divisão por piso - corresponde à matemática)

JavaScript/C/Java: -17 % 5 = -2 (divisão truncada)

Números Decimais

O módulo se estende a números decimais (ponto flutuante) usando o mesmo princípio:

7,5 mod 2,5 = 0 (porque 7,5 = 2,5 × 3 + 0)
8,7 mod 2,5 = 1,2 (porque 8,7 = 2,5 × 3 + 1,2)
10,5 mod 3 = 1,5 (porque 10,5 = 3 × 3 + 1,5)

Notação Científica

Esta calculadora suporta notação científica para números muito grandes ou pequenos:

1.5e10 mod 7 = 1 (15.000.000.000 mod 7)
1e6 mod 999 = 1 (1.000.000 mod 999)

Propriedades e Regras do Módulo

Propriedades Fundamentais

Identidade: a mod n = a quando 0 ≤ a < n
Dividendo zero: 0 mod n = 0 (para qualquer n ≠ 0)
Módulo próprio: n mod n = 0
Múltiplos: (k × n) mod n = 0 para qualquer inteiro k

Aritmética com Módulo

Regras de Aritmética Modular

(a + b) mod n = ((a mod n) + (b mod n)) mod n

(a - b) mod n = ((a mod n) - (b mod n) + n) mod n

(a × b) mod n = ((a mod n) × (b mod n)) mod n

Essas propriedades são essenciais na criptografia e na ciência da computação, permitindo cálculos com números muito grandes sem estouro (overflow).

Módulo vs Divisão vs Resto

Divisão (÷ ou /)

A divisão dá o quociente, que pode ser um decimal: 17 ÷ 5 = 3,4

Divisão Inteira (// ou div)

A divisão inteira fornece apenas a parte do número inteiro: 17 // 5 = 3

Módulo (mod ou %)

O módulo fornece apenas o resto: 17 mod 5 = 2

Relacionamento

A Identidade da Divisão

$a = n \times (a \div n) + (a \mod n)$

Para 17 e 5: 17 = 5 × 3 + 2 ✓

Perguntas Frequentes

O que é a operação de módulo (mod)?

A operação de módulo (frequentemente abreviada como mod) encontra o resto após a divisão de um número por outro. Por exemplo, 17 mod 5 = 2 porque 17 dividido por 5 é igual a 3 com um resto de 2. Matematicamente: a mod n = r onde a = n × q + r e 0 ≤ r < |n|.

Como se calcula o módulo?

Para calcular a mod n: 1) Divida a por n e encontre o quociente inteiro q = floor(a/n). 2) Multiplique q por n. 3) Subtraia de a para obter o resto: r = a - n × q. Por exemplo, 17 mod 5: q = floor(17/5) = 3, r = 17 - 5 × 3 = 17 - 15 = 2.

Qual é a diferença entre mod e resto?

Para números positivos, módulo e resto são idênticos. A diferença aparece com números negativos. Na matemática, o módulo sempre retorna um resultado não negativo (0 ≤ r < |n|), enquanto o resto pode ser negativo dependendo da linguagem de programação. Esta calculadora utiliza a definição matemática.

Quais são os usos comuns da operação de módulo?

O módulo é usado para: 1) Verificar se um número é par/ímpar (n mod 2), 2) Aritmética de relógio (conversão de 24 horas para 12 horas), 3) Padrões cíclicos e matrizes circulares, 4) Funções de hash e criptografia, 5) Geração de números pseudo-aleatórios, 6) Determinação da divisibilidade, 7) Cálculos de calendário.

Como o módulo funciona com números negativos?

Com números negativos, existem diferentes convenções. Na matemática e nesta calculadora, o resultado é sempre não negativo: -17 mod 5 = 3 (não -2). Isso ocorre porque -17 = 5 × (-4) + 3. Algumas linguagens de programação retornam -2 usando a divisão truncada. Entender essa diferença é crucial para a programação.

O módulo pode funcionar com números decimais?

Sim, o módulo pode ser estendido a números decimais (ponto flutuante). Por exemplo, 7,5 mod 2,5 = 0 porque 7,5 = 2,5 × 3 + 0. E 8,7 mod 2,5 = 1,2 porque 8,7 = 2,5 × 3 + 1,2. Esta calculadora suporta cálculos de módulo decimal com alta precisão.

Recursos Adicionais

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pela equipe miniwebtool. Atualizado: 05 de janeiro de 2026

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Inteiros Positivos

Números Negativos

Números Decimais

Notação Científica

Propriedades e Regras do Módulo

Propriedades Fundamentais

Aritmética com Módulo

Módulo vs Divisão vs Resto

Divisão (÷ ou /)

Divisão Inteira (// ou div)

Módulo (mod ou %)

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Perguntas Frequentes

O que é a operação de módulo (mod)?

Como se calcula o módulo?

Qual é a diferença entre mod e resto?

Quais são os usos comuns da operação de módulo?

Como o módulo funciona com números negativos?

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