Calculadora da Lei dos Cossenos

Calculadora da Lei dos Cossenos

Bem-vindo à nossa Calculadora da Lei dos Cossenos, uma poderosa ferramenta de trigonometria para resolver triângulos. Quer você conheça dois lados e o ângulo incluído (SAS) ou todos os três lados (SSS), esta calculadora fornece soluções completas com explicações passo a passo, visualizações interativas e propriedades adicionais do triângulo, como área e perímetro.

O que é a Lei dos Cossenos?

A Lei dos Cossenos (também chamada de Regra do Cosseno) é um teorema fundamental na trigonometria que relaciona os comprimentos dos lados de qualquer triângulo ao cosseno de um de seus ângulos. É uma generalização do teorema de Pitágoras e funciona para todos os triângulos, não apenas para triângulos retângulos.

Onde $a$, $b$ e $c$ são os comprimentos dos lados e $C$ é o ângulo oposto ao lado $c$. A fórmula pode ser reorganizada para encontrar qualquer lado ou ângulo:

Para encontrar um ângulo quando todos os lados são conhecidos:

Entendendo os Casos de Triângulos

Como Usar Esta Calculadora

1. Selecione o tipo de caso: Escolha SAS se você tiver dois lados e o ângulo incluído, ou SSS se tiver todos os três lados.
2. Escolha a unidade de ângulo: Selecione graus ou radianos com base em seus dados de entrada.
3. Insira seus valores:
   • SAS: Insira o lado a, o lado b e o ângulo C (o ângulo entre eles)
   • SSS: Insira todos os três lados a, b e c
4. Clique em Calcular: Obtenha a solução completa do triângulo com todos os lados, ângulos, área e perímetro.
5. Revise a solução: Examine o cálculo passo a passo e a visualização interativa do triângulo.

Aplicações da Lei dos Cossenos

Lei dos Cossenos vs Teorema de Pitágoras

A Lei dos Cossenos é uma generalização do teorema de Pitágoras. Quando o ângulo $C = 90°$, temos $\cos(90°) = 0$, então a fórmula simplifica para:

Isso é exatamente o teorema de Pitágoras! A Lei dos Cossenos estende essa relação para funcionar com qualquer triângulo, não apenas triângulos retângulos.

Teorema da Desigualdade Triangular

Para que três comprimentos formem um triângulo válido, eles devem satisfazer o Teorema da Desigualdade Triangular: a soma de quaisquer dois lados deve ser maior que o terceiro lado.

• $a + b > c$
• $a + c > b$
• $b + c > a$

Nossa calculadora valida automaticamente as entradas SSS em relação a este teorema.

Classificando Triângulos

A Lei dos Cossenos pode ajudar a determinar o tipo de triângulo:

• Triângulo acutângulo: Se $c^2 < a^2 + b^2$ (todos os ângulos menores que 90°)
• Triângulo retângulo: Se $c^2 = a^2 + b^2$ (um ângulo é exatamente 90°)
• Triângulo obtusângulo: Se $c^2 > a^2 + b^2$ (um ângulo maior que 90°)

Lei dos Cossenos vs Lei dos Senos

Ambas as leis são essenciais para resolver triângulos, mas se aplicam a situações diferentes:

• Lei dos Cossenos: Melhor para os casos SAS e SSS
• Lei dos Senos: Melhor para os casos ASA, AAS e SSA (ambíguo)
• A Lei dos Cossenos é mais estável computacionalmente para ângulos obtusos
• Juntas, essas leis podem resolver qualquer triângulo, dada informação suficiente

Perguntas Frequentes

O que é a Lei dos Cossenos?

A Lei dos Cossenos é um teorema fundamental na trigonometria que relaciona os comprimentos dos lados de um triângulo ao cosseno de um de seus ângulos. A fórmula é $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)$, onde $a$, $b$ e $c$ são os lados do triângulo e $C$ é o ângulo oposto ao lado $c$. Ela generaliza o teorema de Pitágoras para todos os triângulos.

Quando devo usar a Lei dos Cossenos versus a Lei dos Senos?

Use a Lei dos Cossenos para os casos SAS (Lado-Ângulo-Lado) e SSS (Lado-Lado-Lado). Use a Lei dos Senos para os casos ASA (Ângulo-Lado-Ângulo), AAS (Ângulo-Ângulo-Lado) e SSA (Lado-Lado-Ângulo). A Lei dos Cossenos é mais estável computacionalmente para ângulos pequenos.

O que é o caso SAS na resolução de triângulos?

SAS (Lado-Ângulo-Lado) é quando você conhece dois lados de um triângulo e o ângulo entre eles (o ângulo incluído). Usando a Lei dos Cossenos, você pode encontrar o terceiro lado e depois calcular os ângulos restantes.

O que é o caso SSS na resolução de triângulos?

SSS (Lado-Lado-Lado) é quando você conhece todos os três lados de um triângulo. Usando a Lei dos Cossenos reorganizada para resolver ângulos, você pode encontrar todos os três ângulos. O triângulo deve satisfazer o teorema da desigualdade triangular.

Como sei se três lados podem formar um triângulo válido?

Três lados formam um triângulo válido se satisfizerem o Teorema da Desigualdade Triangular: a soma de quaisquer dois lados deve ser maior que o terceiro lado. Isso significa que $a + b > c$, $a + c > b$ e $b + c > a$ devem ser todos verdadeiros.

Como a Lei dos Cossenos está relacionada ao teorema de Pitágoras?

A Lei dos Cossenos é uma generalização do teorema de Pitágoras. Quando o ângulo $C$ é 90°, $\cos(90°) = 0$, então a fórmula $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)$ se reduz a $c^2 = a^2 + b^2$, que é o teorema de Pitágoras.

Recursos Adicionais

• Lei dos Cossenos - Wikipédia
• Law of Cosines - Wolfram MathWorld
• Resolução de Triângulos - Wikipédia

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